10. 若$A$是关于字母$x$的整式，且$A$的次数不超过3次，令$A=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a$，$b$，$c$，$d$为整数. 在平面直角坐标系中，我们定义：$M(b+d，a+b+c+d)$为整式$A$的相关点，我们规定次数超过3次的整式没有相关点.
例如，若整式$A=2x^2+3x-4$，则$a=0$，$b=2$，$c=3$，$d=-4$，故$A$的相关点的坐标为$(-2，1)$.
（1）若$A=2x^3-4x^2+x+3$，则$A$的相关点的坐标为；
（2）已知$B$是关于字母$x$的整式，且$B$的次数为1，整式$C$是$B$与$(x-3)(2x+1)$的乘积，已知整式$C$的相关点的坐标为$(0，24)$，求整式$B$.

10. 解：(1) $(-1, 2)$
(2) 根据题意，设$B=mx+n(m≠0)$，
$(x-3)(2x+1)=2x^2 - 5x - 3.$
$\because$ 整式$C$是$B$与$(x-3)(2x+1)$的乘积，
$\therefore C=(mx+n)(2x^2 - 5x - 3)$
$=2mx^3 - 5mx^2 - 3mx + 2nx^2 - 5nx - 3n$
$=2mx^3 + (2n - 5m)x^2 - (3m + 5n)x - 3n.$
$\because$ 整式$C$的相关点的坐标为$(0, 24),$
$\therefore \begin{cases}2n - 5m - 3n = 0,\\2m + (2n - 5m) - (3m + 5n) + (-3n) = 24,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=-5.\end{cases}$
$\therefore$ 整式$B$为$x - 5.$

【分析】
（1）第一问先根据整式$A$的表达式确定$a、b、c、d$的取值，再按照“相关点”的定义，分别计算横坐标$b+d$和纵坐标$a+b+c+d$的值，即可得到相关点坐标，其中纵坐标也可通过将$x=1$代入$A$直接计算，更加简便。
（2）第二问先根据$B$是一次整式设出$B$的表达式，先计算$(x-3)(2x+1)$的结果，再通过多项式乘多项式运算得到整式$C$的三次四项式形式，对应得到$C$的$a、b、c、d$的表达式，再根据$C$的相关点坐标列出关于未知系数的二元一次方程组，求解即可得到$B$的表达式。
【解析】
（1）对于$A=2x^3-4x^2+x+3$，对应得$a=2$，$b=-4$，$c=1$，$d=3$。
根据相关点定义：
横坐标为$b+d=-4+3=-1$，
纵坐标为$a+b+c+d=2-4+1+3=2$，
因此$A$的相关点坐标为$(-1,2)$。
（2）设整式$B=mx+n$（$m≠0$，因$B$是一次整式），
先计算$(x-3)(2x+1)=2x^2 +x -6x -3=2x^2 -5x -3$，
则$C=(mx+n)(2x^2 -5x -3)$
展开得：$=2mx^3 -5mx^2 -3mx +2nx^2 -5nx -3n$
合并同类项得：$=2mx^3 + (2n-5m)x^2 -(3m+5n)x -3n$
则$C$对应的系数为：$a=2m$，$b=2n-5m$，$c=-(3m+5n)$，$d=-3n$
已知$C$的相关点坐标为$(0,24)$，根据定义列方程组：
$\begin{cases} b+d=0 \\ a+b+c+d=24 \end{cases}$
代入系数化简得：
$\begin{cases} -5m -n=0 \\ m+n=-4 \end{cases}$
将$n=-5m$代入$m+n=-4$，解得$m=1$，则$n=-5$
因此整式$B=x-5$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(-1,2)}$；（2）$\boldsymbol{x-5}$
【知识点】
多项式乘多项式，新定义运算，解二元一次方程组
【点评】
本题以新定义“相关点”为载体，考查多项式的乘法运算与方程组的求解，解题的核心是准确理解新定义的规则，正确展开多项式并合并同类项，计算过程中要注意符号问题，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7