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如何在操场上画一个半径为6 m的圆？说说你的做法和理由。
答案
答案不唯一.如:将长为6 m的绳子一端点O固定,另一端绑上粉笔绕着点O在平面内旋转1圈,即得半径为6 m的圆.理由：到点O的距离等于6 m的点的集合是以点O为圆心,6 m为半径的圆
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的核心特征：圆由圆心（定点，确定圆的位置）和半径（定长，确定圆的大小）两个要素决定，其本质是同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。要画半径为6m的圆，首先需要选定固定点作为圆心，再保证绘制的所有点到该定点的距离均为6m，因此可借助长度为6m的工具控制定长，绕圆心旋转一周即可得到目标圆。
【解析】
做法：首先在操场上选一个合适的位置作为定点O（圆心），取一根长度为6m的无弹性绳子，将绳子的一端固定在点O处，另一端绑上粉笔，拉直绳子后，牵着绑粉笔的一端绕点O在操场地面上完整旋转1周，粉笔划过的封闭曲线就是半径为6m的圆。
理由：根据圆的定义，同一平面内到定点O的距离等于定长6m的所有点的集合，就是以点O为圆心、6m为半径的圆。
【答案】
答案不唯一.如:将长为6 m的绳子一端点O固定,另一端绑上粉笔绕着点O在平面内旋转1圈,即得半径为6 m的圆.理由：到点O的距离等于6 m的点的集合是以点O为圆心,6 m为半径的圆
【知识点】
1.圆的定义 2.圆的构成要素
【点评】
本题属于基础概念应用题，将抽象的圆的定义和实际操作结合，能帮助大家更深刻地理解圆的本质特征，只要掌握圆的基本定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆的核心特征：圆由圆心（定点，确定圆的位置）和半径（定长，确定圆的大小）两个要素决定，其本质是同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。要画半径为6m的圆，首先需要选定固定点作为圆心，再保证绘制的所有点到该定点的距离均为6m，因此可借助长度为6m的工具控制定长，绕圆心旋转一周即可得到目标圆。
【解析】
做法：首先在操场上选一个合适的位置作为定点O（圆心），取一根长度为6m的无弹性绳子，将绳子的一端固定在点O处，另一端绑上粉笔，拉直绳子后，牵着绑粉笔的一端绕点O在操场地面上完整旋转1周，粉笔划过的封闭曲线就是半径为6m的圆。
理由：根据圆的定义，同一平面内到定点O的距离等于定长6m的所有点的集合，就是以点O为圆心、6m为半径的圆。
【答案】
答案不唯一.如:将长为6 m的绳子一端点O固定,另一端绑上粉笔绕着点O在平面内旋转1圈,即得半径为6 m的圆.理由：到点O的距离等于6 m的点的集合是以点O为圆心,6 m为半径的圆
【知识点】
1.圆的定义 2.圆的构成要素
【点评】
本题属于基础概念应用题，将抽象的圆的定义和实际操作结合，能帮助大家更深刻地理解圆的本质特征，只要掌握圆的基本定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
例 如图3-1,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 
图3-1
图3-1答案
证明
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ OA=OC=1/2 AC,OB=OD=1/2 BD,AC=BD.
∴ OA=OC=OB=OD.
∴ A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ OA=OC=1/2 AC,OB=OD=1/2 BD,AC=BD.
∴ OA=OC=OB=OD.
∴ A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上
解析
【分析】
要证明多个点在同一个圆上，依据圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，因此只需证A、B、C、D四点到点O的距离相等即可。结合正方形对角线互相平分且相等的性质，可推导出OA、OB、OC、OD的数量关系，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴ OA=OC=OB=OD，
∴ A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$ AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$ BD,AC=BD.
∴ OA=OC=OB=OD.
∴ A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上
【知识点】
圆的定义，正方形的性质
【点评】
本题是共圆证明的基础题型，解题核心是抓住“到定点距离相等的点在同一个圆上”的判定依据，结合正方形对角线的性质即可快速求证，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
要证明多个点在同一个圆上，依据圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，因此只需证A、B、C、D四点到点O的距离相等即可。结合正方形对角线互相平分且相等的性质，可推导出OA、OB、OC、OD的数量关系，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴ OA=OC=OB=OD，
∴ A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$ AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$ BD,AC=BD.
∴ OA=OC=OB=OD.
∴ A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上
【知识点】
圆的定义，正方形的性质
【点评】
本题是共圆证明的基础题型，解题核心是抓住“到定点距离相等的点在同一个圆上”的判定依据，结合正方形对角线的性质即可快速求证，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
1. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
（1）圆上任意一点到圆心的距离都相等；（
（2）要确定一个圆，只要知道这个圆的半径即可；（
（3）直角三角形的三个顶点一定在同一个圆上；（
（4）菱形的四个顶点一定在同一个圆上。（
（1）圆上任意一点到圆心的距离都相等；（
√
）（2）要确定一个圆，只要知道这个圆的半径即可；（
×
）（3）直角三角形的三个顶点一定在同一个圆上；（
√
）（4）菱形的四个顶点一定在同一个圆上。（
×
）答案
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
解析
【分析】
本题围绕圆的基础概念命题，解题时可结合对应知识点逐一判断：①判断第（1）题直接调用圆的定义，明确圆上任意点到圆心的距离都等于半径即可；②判断第（2）题需回忆确定圆的两个必要条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可；③判断第（3）题结合直角三角形斜边中线的性质，推导三个顶点到定点的距离是否相等即可；④判断第（4）题结合四点共圆的判定条件（四边形对角互补）和菱形的性质分析即可。
【解析】
（1）根据圆的定义，平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形叫做圆，因此圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，大小相等，故该说法正确。
（2）确定一个圆需要同时具备圆心和半径两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，仅知道半径无法确定圆的位置，能画出无数个半径相同、位置不同的圆，故该说法错误。
（3）直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都等于斜边长度的一半，因此三个顶点都在以斜边中点为圆心、斜边长的一半为半径的同一个圆上，故该说法正确。
（4）四个点共圆的判定条件是：四边形的对角互补。菱形的性质是对角相等，只有正方形这类特殊的菱形才满足对角互补，普通菱形的对角不互补，因此菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，故该说法错误。
【答案】
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【知识点】
圆的定义；确定圆的条件；四点共圆判定
【点评】
这组题目侧重考查对圆相关基础概念的理解，难度较低，解题时要注意区分一般情况和特殊情况，不要把特殊图形的性质当成所有同类图形的通用性质。
【难度系数】
0.8
本题围绕圆的基础概念命题，解题时可结合对应知识点逐一判断：①判断第（1）题直接调用圆的定义，明确圆上任意点到圆心的距离都等于半径即可；②判断第（2）题需回忆确定圆的两个必要条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可；③判断第（3）题结合直角三角形斜边中线的性质，推导三个顶点到定点的距离是否相等即可；④判断第（4）题结合四点共圆的判定条件（四边形对角互补）和菱形的性质分析即可。
【解析】
（1）根据圆的定义，平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形叫做圆，因此圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，大小相等，故该说法正确。
（2）确定一个圆需要同时具备圆心和半径两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，仅知道半径无法确定圆的位置，能画出无数个半径相同、位置不同的圆，故该说法错误。
（3）直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都等于斜边长度的一半，因此三个顶点都在以斜边中点为圆心、斜边长的一半为半径的同一个圆上，故该说法正确。
（4）四个点共圆的判定条件是：四边形的对角互补。菱形的性质是对角相等，只有正方形这类特殊的菱形才满足对角互补，普通菱形的对角不互补，因此菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，故该说法错误。
【答案】
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【知识点】
圆的定义；确定圆的条件；四点共圆判定
【点评】
这组题目侧重考查对圆相关基础概念的理解，难度较低，解题时要注意区分一般情况和特殊情况，不要把特殊图形的性质当成所有同类图形的通用性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图，A，B是$\odot O$上的两点，点O，A，B不在一条直线上，连接OA，OB，AB.若$∠ A＝45°$，求$∠ AOB$的度数.
答案
∠AOB=90°
解析
【分析】
首先观察图形可知OA、OB均为⊙O的半径，根据同圆的半径相等，可得OA=OB，因此△OAB为等腰三角形。根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠A=45°可求出∠B的度数，最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠AOB的度数。
【解析】
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，∠B=∠A=45°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°。
【答案】
∠AOB=90°
【知识点】
圆的半径性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是识别出同圆的半径相等，进而得到等腰三角形，再结合三角形角度计算的知识求解，能很好的考察对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知OA、OB均为⊙O的半径，根据同圆的半径相等，可得OA=OB，因此△OAB为等腰三角形。根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠A=45°可求出∠B的度数，最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠AOB的度数。
【解析】
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，∠B=∠A=45°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°。
【答案】
∠AOB=90°
【知识点】
圆的半径性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是识别出同圆的半径相等，进而得到等腰三角形，再结合三角形角度计算的知识求解，能很好的考察对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
