3. ★★ 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,以线段$AB$为边在第一象限内作等腰直角三角形$ABC$,且$∠ BAC=90°$.
(1)求点$C$的坐标;
(2)在平面直角坐标系中有一点$P(-1,m)$,且$△ ABP$的面积等于$△ ABC$的面积,求$m$的值.

(1)对$y=-\frac{1}{2}x+2$,当$x=0$时,$y=2$,当$y=0$时,$x=4$,$\therefore A(4,0)$,$B(0,2)$,$\therefore OA=4$,$OB=2$,$AB=\sqrt{20}$,过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$,则$∠ ADC=90°$,$\therefore ∠ CAD+∠ ACD=90°$.$\because ∠ BAC=90°$,$△ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ BAO+∠ CAD=90°$,$\therefore ∠ BAO=∠ ACD$.$\because AB=AC$,$∠ AOB=∠ CDA=90°$,$\therefore △ ABO ≌ △ CAD$(AAS),$\therefore CD=OA=4$,$AD=OB=2$,$\therefore OD=4+2=6$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(6,4)$.
(2)如图,过点$C$作直线$AB$的平行线$m$,作直线$m$关于直线$AB$对称的直线$n$,设直线$m$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+b$,过点$C(6,4)$,则可得直线$m$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+7$,直线$n$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x-3$,根据平行线之间的距离处处相等,可知在直线$m$和直线$n$上的点与点$A,B$构成的三角形面积都等于$△ ABC$的面积,将$P(-1,m)$代入$y=-\frac{1}{2}x+7$,解得$m=\frac{15}{2}$,将$P(-1,m)$代入$y=-\frac{1}{2}x-3$,解得$m=-\frac{5}{2}$,综上,$m$的值为$\frac{15}{2}$或$-\frac{5}{2}$.

4. 如图，直线$y=2x+4$交坐标轴于$A,B$两点，点$C$为直线$y=kx(k＞0)$上一点，且$△ ABC$是以$C$为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)求$k$的值；
(2)若在$x$轴上存在一点$P$，使得$S_{△ PAC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，求点$P$的坐标.

(1)$\because$ 直线$y=2x+4$交坐标轴于$A,B$两点,$\therefore A(-2,0)$,$B(0,4)$.设点$C(m,mk)$,如图①,过点$C$作$x$轴的垂线于点$N$,交过点$B$与$x$轴平行的直线于点$M$,$\because ∠ BCM+∠ MBC=90°$,$∠ BCM+∠ ACN=90°$,$\therefore ∠ ACN=∠ CBM$,$AC=CB$,$∠ CMB=∠ ANC=90°$,$\therefore △ CMB≌ △ ANC$(AAS),$\therefore CN=BM$,即$km=m$,解得$k=1$.

(2)由(1)得点$C(1,1)$,如图②,取$AB$的中点$H(-1,2)$,则$S_{△ ACH}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=S_{△ PAC}$,过点$H$作直线$AC$的平行线$m$,在$AC$下方距离$AC$与$m$等距离的位置作直线$n$,由于平行线之间的距离处处相等,则直线$m$、直线$n$与$x$轴的交点为所求的点$P$.
$\because A(-2,0),C(1,1)$,$\therefore$ 直线$AC$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$.
$\because$ 直线$m$平行于直线$AC$,且过点$H(-1,2)$,$\therefore$ 可得直线$m$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$.当$y=0$时,$x=-7$,$\therefore P(-7,0)$.$\because$ 直线$AC$与直线$m$在$y$轴上的交点距离之差为$\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$,$\therefore$ 直线$n$与$y$轴的交点为$(0,-1)$,$\therefore$ 直线$n$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$,当$y=0$时,$x=3$,$\therefore P(3,0)$.故点$P$坐标为$(3,0)$或$(-7,0)$.