1. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1,0)，以OA为边在第一象限内作等边三角形OAB，C为x轴正半轴上一动点(OC＞1)，连结BC，以BC为边在第一象限内作等边三角形BCD，直线DA交y轴于点E.
(1)如图，当点C在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长.
(2)随着点C的变化，点D也在不断运动，直线AD的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AD的函数表达式.

1.(1)
∵ △OAB 和△BCD 都为等边三角形,
∴ OB=AB,BC=BD,∠OBA=∠DBC=60°,即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC,
∴ ∠OBC=∠ABD,
∴ △OBC≌△ABD(SAS),
∴ AD=OC=1+x.
(2)随着点C的变化,直线AD的位置不变.理由如下:由△OBC≌△ABD,得到∠BAD=∠BOC=60°,又
∵ ∠BAO=60°,
∴ ∠DAC=60°,
∴ 点D在AE上移动,
∴ ∠OAE=60°.又OA=1,
在直角三角形AOE中,∠AEO=90°-∠OAE=30°,则OE=√3,点E的坐标为(0,-√3).
∵ 直线AD的位置不变,
∴ 可设直线AD的函数表达式为y = kx + b,把点E和点A的坐标代入得
$\begin{cases}k+b=0,\\b=-\sqrt{3},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\sqrt{3},\\b=-\sqrt{3},\end{cases}$
∴ 直线AD的函数表达式为y=√3 x -√3.

2. 在平面直角坐标系中,已知点$A(a,0)$,$C(0,b)$满足$(a+1)^2+\sqrt{b+3}=0$.
(1)直接写出:$a=$, $b=$;
(2)如图①,点B为x轴正半轴上的一点,$BE ⊥ AC$于点E,交y轴于点D,连结OE.若EO平分$∠ AEB$,求直线BE的函数表达式;
(3)如图②,在(2)的条件下,点M为直线BE上的一动点,连结OM,若在第四象限内存在一点N使得$OM=NM$,且$∠ OMN=90°$,当点M运动时,判断点N的运动路线是什么图形,并说明理由.

2.(1)-1 -3 解析:
∵ $(a+1)^2+\sqrt{b+3}=0$,
∴ a+1=0,b+3=0,
∴ a=-1,b=-3.
(2)如图①,过点O作OF⊥OE,交BE于点F,
∴ ∠EOD+∠FOD=90°.
∵ ∠FOD+∠FOB=90°,
∴ ∠EOC=∠FOB.
∵ BE⊥AC,EO平分∠AEB,
∴ △EOF为等腰直角三角形,
∴ OE=OF,
∠AEO=∠OEB=∠OFE=45°,
∴ ∠OEC=∠OFB,在△OEC和△OFB中,
$\begin{cases}∠EOC=∠FOB,\\OE=OF,\\∠OEC=∠OFB,\end{cases}$
∴ △OEC ≌ △OFB ( ASA ),
∴ OB=OC,同理可证:△AOC≌△DOB(ASA),
∴ OA = OD.
∵ A(-1,0),C(0,-3),
∴ D(0,-1),B(3,0),
∴ 直线BE的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$.
(3)点N的运动路线是直线$y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$.理由如下:依题意,
△MON为等腰直角三角形,如图②,过点M作MG⊥x轴,垂足为G,过点N作NH⊥GH,垂足为H,
∴ ∠OGM=∠MHN=90°.
∵ △MON为等腰直角三角形,
∴ OM = MN,∠OMN = 90°,
∴ ∠OMG+∠HMN=90°.
∵ ∠HMN+∠MNH=90°,
∴ ∠OMG=∠MNH,在△GOM和△HMN中,$\begin{cases}∠OGM=∠MHN,\\∠OMG=∠MNH,\\OM=MN,\end{cases}$,
∴ △GOM≌△HMN(AAS),
∴ OG=MH,GM=NH,由(2)知直线BE的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$,
∴ 设$M(m,\frac{1}{3}m-1)$,则$H(m,-\frac{2}{3}m-1)$,
∴ $N(\frac{4}{3}m-1,-\frac{2}{3}m-1)$,令$\frac{4}{3}m-1=x,-\frac{2}{3}m-1=y$,消去参数m得$y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$,即点N的运动路线是直线$y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$.