1. 如图,在平面直角坐标系中,$Rt△ ACD$沿直线$CD$翻折得$△ BCD$,且点$A(0,-2)$,$D(0,3)$,点$B$在$x$轴负半轴上,$A,C,B$三点在同一条直线上,直线$CD$交$x$轴于点$E$.
(1)求直线$CD$的函数表达式；
(2)在线段$CE$上有一动点$F$,连结$OF$,$P$为$AB$上一动点,$K$为$y$轴上一动点,连结$PF$,$PK$,当$S_{△ DOF}=\frac{21}{8}$时,求$PF+PK$的最小值.

1. (1)因为点A(0,-2),D(0,3),所以AD=5,由折叠可知,BD=AD=5.因为DO=3,所以BO=4,所以点B(-4,0).因为C是AB的中点,所以点C(-2,-1).设直线CD的函数表达式为y = kx + b (k ≠ 0),将点C(-2,-1),D(0,3)代入,得$\begin{cases} b=3, \\ -2k+b=-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2, \\ b=3, \end{cases}$所以直线CD的函数表达式为y = 2x+3.
(2)因为$S_{△ DOF}=\frac{21}{8}$,所以$\frac{1}{2}×DO×|x_F|=\frac{21}{8}$,即$\frac{1}{2}×3×|x_F|=\frac{21}{8}$,解得$x_F=-\frac{7}{4}$,所以$y_F=-\frac{1}{2}$,所以点$F(-\frac{7}{4},-\frac{1}{2})$.作点F关于AB的对称点F',连结F'K,所以PF=PF',所以PF+PK=PF'+PK≥F'K,当F'K最小时,PF+PK的值最小,此时F'K⊥y轴.因为AB⊥CD,所以点F'在直线CD上,所以C是FF'的中点,所以点$F'(-\frac{9}{4},-\frac{3}{2})$,所以PF+PK的最小值为$\frac{9}{4}$.

2. （2026·宿迁月考）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(-4,0)$，一次函数$y=-2x+4$的图象分别与x轴和y轴交于点B,C,作直线AC.
【问题提出】(1)求直线AC的函数表达式.
【初步探究】(2)如图①,若M是直线AC上的动点,是否存在点M,使得$S_{△ ABC}=3S_{△ ABM}$?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【拓展延伸】(3)如图②,点D的坐标为$(8,0)$,$P$为$x$轴正半轴上的动点,以点$P$为直角顶点,$CP$为腰在第一象限内作等腰直角$△ CPQ$,连结$QD$,当$CQ+QD$取最小值时,求点$Q$的坐标.

2. (1)一次函数y=-2x+4的图象分别与x轴和y轴交于点B,C,当x=0时,得y=4,
∴ 点C的坐标为(0,4),当y=0时,-2x+4=0,解得x=2,
∴ 点B的坐标为(2,0).设直线AC的函数表达式为y=kx+b,将点A(-4,0)、点C(0,4)的坐标分别代入,得$\begin{cases} -4k+b=0, \\ b=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1, \\ b=4, \end{cases}$
∴ 直线AC的函数表达式为y=x+4.
(2)存在点M,使得$S_{△ ABC}=3S_{△ ABM}$.
∵ AB = 4 + 2 = 6, CO = 4,
∴ $S_{△ ABC}=4×6÷2=12$.
∵ $S_{△ ABC}=3S_{△ ABM}$,
∴ $S_{△ ABM}=4$,
∴ AB边上的高=4×2÷6=$\frac{4}{3}$,把y=$\frac{4}{3}$代入y=x+4,解得x=-$\frac{8}{3}$,把y=-$\frac{4}{3}$代入y=x+4,解得x=-$\frac{16}{3}$,
∴ $M(-\frac{8}{3},\frac{4}{3})$或$(-\frac{16}{3},-\frac{4}{3})$.
(3)如图,连结CD,

设点P的坐标为(a,0),
∵ CQ+DQ≥CD,
∴ 当C,Q,D三点共线时,CQ+DQ的值最小,过点Q作QH⊥x轴于点H,
∴ ∠COP=∠CPQ=∠PHQ=90°,
∴ ∠OCP+∠CPO=∠CPO+∠QPH=90°,
∴ ∠OCP=∠QPH. 在△OCP和△HPQ中,∠OCP=∠QPH,∠COP=∠PHQ,CP=PQ,
∴ △OCP≌△HPQ(AAS),
∴ PH=OC=4,QH=OP=a,
∴ 点Q的坐标为(4+a,a).
∵ 点C(0,4),D(8,0),设直线CD的函数表达式为y=mx+4,将点D的坐标代入,得0=8m+4,解得m=-$\frac{1}{2}$,
∴ 直线CD的函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+4,把点Q(4+a,a)代入y=-$\frac{1}{2}$x+4,得-$\frac{1}{2}$×(4+a)+4=a,解得a=$\frac{4}{3}$,
∴ 点Q的坐标为$(\frac{16}{3},\frac{4}{3})$.