典例5 如图，在△ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE = 4. 若M，N分别是DE，AB的中点，则MN长的最小值为 ( )

A. 2
B. 3
C. 3.5
D. 4

微专题(五)　　中点问题
典例5如图,连接CM,CN.∵在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,∴$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.∵DE=4,M,N分别是DE,AB的中点,∴CN=$\frac{1}{2}$AB=5,CM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×4=2.∴当C,M,N三点在同一条直线上时，MN的长取得最小值.∴MN长的最小值为5−2=3.故选B.

典例6 如图，在四边形ABCD中，∠ABC = ∠ADC = 90°，连接AC，BD交于点O，M，N分别是AC，BD的中点. 求证：MN垂直平分BD.

微专题(五)　　中点问题
典例6如图，连接BM,DM.∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,∴在Rt△ABC中,BM=$\frac{1}{2}$AC;在Rt△ADC中,DM=$\frac{1}{2}$AC.∴BM=DM.∵N是BD的中点，∴MN⊥BD.∴MN垂直平分BD.

典例7 如图，在△ABC中，AB = 3，AC = 5，AD是边BC上的中线，AD = 2，求△ABC的面积.

微专题(五)　　中点问题
典例7如图,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD.又∵∠EDB=∠ADC,DE=DA,∴△EDB≌△ADC(SAS).∴EB=AC=5,∠E=∠CAD.又∵AE=2AD=4,AB=3,∴$BE^{2}=AE^{2}+AB^{2}$.∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°.∴$S_{\triangle ABC}$ = 2$S_{\triangle ABD}$ = 2×$\frac{1}{2}$AD·AB = 2×$\frac{1}{2}$×2×3 = 6.

典例8 如图，△ABC的边BC的中点为N，过点A的任一直线AD⊥BD于点D，过点C作CE⊥AD于点E，连接NE，ND. 求证：NE = ND.

微专题(五)　　中点问题
典例8如图,延长EN交BD于点M.∵AD⊥BD,CE⊥AD,∴∠ADB=∠CED=90°.∴BD//CE.∴∠MBN=∠ECN.∵N是BC的中点，∴BN=CN.又∠MNB=∠ENC,∴△BMN≌△CEN(ASA).∴NM=NE=$\frac{1}{2}$ME,即N是ME的中点.又∵∠MDE=90°,∴ND=$\frac{1}{2}$ME.∴NE=ND.