典例1 如图①，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长，交AC于点F，AF = EF. 求证：AC = BE.

微专题(五)　　中点问题
典例1如图，取BF的中点G,连接DG.∵AD是边BC上的中线,∴D是BC的中点.∴DG是△BCF的中位线.∴DG//FC,且DG=$\frac{1}{2}$FC.∴∠FAE=∠EDG.因为AF=EF,∴∠FAE=∠AEF=∠EDG.又∵∠AEF=∠GED,∴∠GED=∠GDE.∴EG=DG.∴BE=BF−EF=2GF−EF=2(GE+EF)−EF=2GE+EF=2DG+AF=CF+AF=AC.∴AC=BE.

典例2 如图，在△ABC中，∠C = 90°，CA = CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE = CF，M，N分别为AF，BE的中点. 求证：AE = $\sqrt{2}$MN.

微专题(五)　　中点问题
典例2如图,取AB的中点G,连接MG,NG.∵M,N分别为AF,BE的中点，∴NG=$\frac{1}{2}$AE,NG//AE,MG=$\frac{1}{2}$BF,MG//BF.∵CA=CB,CE=CF,∠C=90°,∴CA−CE=CB−CF,即AE=BF,∠MGN=∠C=90°.∴MG=NG.∴△MNG是等腰直角三角形.∴NG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MN.∴AE=2NG=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$MN=$\sqrt{2}$MN,即AE=$\sqrt{2}$MN.

典例3 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E为边BC上一点，且∠BCA = 2∠BED，BE = $\frac{4}{3}$AC，CE = 3，求AC的长.

微专题(五)　　中点问题
典例3如图,延长BC至点G,使EG=BE,连接AG.∵D是AB的中点,∴DE是△ABG的中位线.∴DE//AG.∴∠BED=∠G.∵∠BCA=2∠BED,∴∠BCA=2∠G=∠G+∠CAG.∴∠G=∠CAG.∴CG=AC.∵BE=$\frac{4}{3}$AC,∴设CG=AC=3x,则BE=EG=4x.∴CE=EG−CG=x=3.∴AC=3x=9.

典例4 如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为________.

微专题(五)　　中点问题
典例4如图,连接AM.∵AB=AC,M为BC的中点,∴AM⊥CM,BM=CM.∵AB=AC=5,BC=6,∴BM=CM=3.在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,∴AM=$\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.又$S_{\triangle AMC}$=$\frac{1}{2}$AC·MN=$\frac{1}{2}$AM·CM.∴MN=$\frac{AM·CM}{AC}$=$\frac{12}{5}$.