典例5 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OA，BA相交于点A，点A的坐标为(3，4)，点B的坐标为(-1，0)。
（1）分别求直线OA，BA对应的函数表达式；
（2）作x轴的垂线分别交直线OA，BA于点M(x，m)，N(x，n)，当0＜m＜n时，直接写出x的取值范围；
（3）P是x轴上一点，当△AOP是等腰三角形时，求点P的坐标。
　　　　　　　　　　　　

典例5(1)设直线OA对应的函数表达式为y=k₁x(k₁≠0)。将A(3,4)代入，得3k₁=4，解得k₁=$\frac{4}{3}$。∴直线OA对应的函数表达式为y=$\frac{4}{3}$x。设直线BA对应的函数表达式为y=k₂x+b(k₂≠0)。∵点B(−1,0)，A(3,4)在直线BA上，$\begin{cases}-k₂ + b = 0 \\ 3k₂ + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = 1 \\ b = 1\end{cases}$。∴直线BA对应的函数表达式为y=x+1。(2)如图①，结合函数图像可知，当0＜m＜n时，0＜x＜3。(3)①当OA=OP，且点P在x轴正半轴上时，如图②。∵A(3,4)，O(0,0)，∴OA= $\sqrt{(3−0)²+(4−0)²}$=5。∵OA=OP=5，∴P(5,0)。当OA=OP，且点P在x轴负半轴上时，如图③。∵OA=OP=5，∴P(−5,0)。②当AO=AP 时，如图④，过点A作AD⊥x轴于点D。∴OD=PD。∵A(3,4)，∴OD=PD=3。∴OP=6。∴P(6,0)。③当PO=PA时，如图⑤，过点A作AE⊥x轴于点E。∵A(3,4)，∴OE=3，AE=4。设PE=a，则PO=PA=3+a。在Rt△AEP中，AE²+PE²=PA²，∴4²+a²=(3+a)²，解得a=$\frac{7}{6}$。∴PO=3+$\frac{7}{6}$=$\frac{25}{6}$。∴P($\frac{25}{6}$,0)。综上所述，点P的坐标为(5,0)或(−5,0)或(6,0)或($\frac{25}{6}$,0)。
　　　　　　　

典例6 如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，AB = 3，E是边AB上的一点（不与点A，B重合），过点E作ED⊥BC于点D，将△BED沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，连接AF。当△AEF为直角三角形时，BE的长为_______。
　　　　　　　　　　　　　

典例6∵ED⊥BC，∠B=30°，∴BE=2DE。设DE=x，则BE=2x。∵AB=3，∴AE=3−2x。由折叠，得∠EFD=∠B=30°，EF=BE=2x。∴∠AEF=∠B+∠EFD=60°。∵△AEF 为直角三角形，∴可分为两种情况：①如图①，当∠AFE=90°时，∠EAF=30°。∴AE=2EF，即3−2x=4x，解得x=$\frac{1}{2}$。∴BE=1。②如图②，当∠EAF=90°时，∠AFE=30°。∴EF=2AE，即2x=2(3−2x)，解得x=1。∴BE=2。综上所述，BE的长为1或2。
　　

典例7 如图，一次函数$y=\frac{3}{2}x - 3$的图像与反比例函数$y=\frac{k}{x}$第一象限内的图像交于点A(4，n)，与x轴、y轴分别交于点B，C。
（1）求n和k的值；
（2）若P为坐标轴上一点，请你探索：当以A，P，C为顶点的三角形是直角三角形时，求出所有可能的点P的坐标。
　　　　　　　　　　　　　

典例7(1)把A(4,n)代入y=$\frac{3}{2}$x−3，得n=$\frac{3}{2}$×4−3=3，∴A(4,3)。∵点A在反比例函数的图像上，∴k=3×4=12。(2)对于y=$\frac{3}{2}$x−3，令x=0，得y=−3，∴C(0,−3)。∴AC= $\sqrt{(4−0)²+(3+3)²}$=2$\sqrt{13}$。若点P在y轴上，①当∠APC=90°时，易知AP⊥y轴，∴P(0,3)。②当∠PAC=90°时，设点P的坐标为(0,m)。∴易得(m+3)²=4²+(m−3)²+(2$\sqrt{13}$)²，解得m=$\frac{17}{3}$。∴P(0,$\frac{17}{3}$)。若点P在x轴上，设P(n,0)。∴AP²=(4−n)²+3²，PC²=n²+3²。①当∠CAP=90°时，PC²=AP²+AC²，即n²+3²=(4−n)²+3²+(2$\sqrt{13}$)²，解得n=8.5。∴P(8.5,0)。②当∠CPA=90°时，PC²+AP²=AC²，即n²+3²+(4−n)²+3²=(2$\sqrt{13}$)²，解得n=2 ± $\sqrt{13}$。∴P(2 + $\sqrt{13}$,0)，(2 - $\sqrt{13}$,0)。③当∠PCA=90°时，PC²+AC²=AP²，即n²+3²+(2$\sqrt{13}$)²=(4−n)²+3²，解得n= - 4.5。∴P(−4.5,0)。综上所述，当以A，P，C为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为(0,3)或(0,$\frac{17}{3}$)或(8.5,0)或(2 + $\sqrt{13}$,0)或(2 - $\sqrt{13}$,0)或(−4.5,0)。