典例1 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为6，点 $M$ 在 $CB$ 的延长线上，$BM = 2$，作$\angle MAN = 45^{\circ}$，交 $DC$ 的延长线于点 $N$，连接 $MN$，求 $MN$ 的长.

微专题(六)　　半角模型与手拉手模型
典例1如图，在DC上截取DF=BM,连接AF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD、∠ABM=∠ABC=∠ADF=∠BAD=90°.又∵BM=DF,∴△ABM≌△ADF.∴AM=AF,∠MAB=∠FAD.∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°,即∠MAF=∠BAD=90°.又∵∠MAN=45°,∴∠FAN=90°−45°=45°.∴∠MAN=∠FAN.∵AN=AN,∴△MAN≌△FAN.∴MN=FN.设MN=FN=x.∵BM=DF=2,BC=CD=6,∴DN=DF+FN=2+x,CM=6 + 2 = 8.∴CN=DN−CD=x−4.∵易得CM²+CN²=MN²,∴8²+(x−4)²=x²,解得x=10.∴MN=10.
　　　　　　　　

典例2 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 4\sqrt{3}$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，点 $D$，$E$ 都在边 $BC$ 上，$\angle DAE = 60^{\circ}$. 若 $BD = 2CE$，求 $DE$ 的长.

典例2如图，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF,EG,过点A作AN⊥BC于点N.∵AB=AC=4√3,∠BAC=120°,∴BN=CN,∠B=∠ACB=30°.在Rt△BAN中,∠B=30°,AB=4√3,∴AN=1/2AB=2√3.∴BN=√(AB² - AN²)=6.∴BC=12.由旋转,得△ABD≌△ACF,∴AD=AF,BD=CF,∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF=30°.∵∠ACB=30°,∴∠ECG=60°.∵G为CF的中点，∴CG=FG=1/2CF,即CF=2CG.∵BD=2CE,BD=CF,∴CG=CE.∴△CEG为等边三角形.∴∠EGC=∠CEG=60°,EG=CG=FG.∴∠FEG=∠EFG=30°.∴∠CEF=90°.∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,∴∠BAD+∠CAE=60°.∴∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°.∴∠DAE=∠FAE.在△ADE和△AFE中,
{AD=AF，
∠DAE=∠FAE，
AE=AE，
∴△ADE≌△AFE.∴DE=FE.设EC=x,则易得BD=CF=2x.∴DE=FE=12−3x.在Rt△CEF 中,∠CEF=90°,CF=2x,EC=x,∴FE=√(CF² - EC²)=√3x.∴12−3x=√3x,解得x=6−2√3.∴DE=12−3×(6−2√3)=6√3−6.