典例1 如图，将边长为12的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E处，然后压平得折痕FG，连接AE. 若FG = 13，则CE = ______.
　　　　　　　　　　　　　　

7.

典例2 如图，将正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E处，折痕为MN. 若CE = 3，折痕MN的长为$\sqrt{17}$，求正方形ABCD的面积.
　　　　　　　　　　　　　　

如图，过点N作NH⊥AD于点H，连接AE.在正方形ABCD中，AB = AD，∠BAD = ∠B = ∠D = 90°，∴ 四边形ABNH是矩形. ∴ NH = AB = AD. 根据折叠的性质可知，MN⊥AE，∴ ∠DAE + ∠HMN = 90°. 又∵ ∠DAE + ∠DEA = 90°，∴ ∠HMN = ∠DEA. ∵ ∠NHM = ∠D = 90°，∴ △HNM≌△DAE. ∴ MN = EA. ∵ CE = 3，折痕MN的长为$\sqrt{17}$，∴ AE = $\sqrt{17}$. 设正方形ABCD的边长为x. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得$x^{2}+(x - 3)^{2}=17$，解得x = 4或x = -1(不合题意，舍去). ∴ 正方形ABCD的边长为4. ∴ 正方形ABCD的面积为4×4 = 16.

典例3 如图，在四边形ABCD中，∠ABC = ∠C = 90°，AB = BC，BF⊥AD，垂足为F，E为线段CD上的一点，连接AE，交BF于点G.
(1) 求证：∠BAD = ∠CBF；
(2) 若∠BAE + 2∠DAE = 90°，AG = 1，AB = 5，求线段CD的长.
　　　　　　　　　　　　　　

(1) ∵ BF⊥AD，∴ ∠AFB = ∠ABC = 90°. ∴ ∠BAD + ∠ABF = 90°，∠ABF + ∠CBF = 90°. ∴ ∠BAD = ∠CBF.
(2) 如图，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，延长BF交AH于点M. ∵ AH⊥CD，∠ABC = ∠C = 90°，∴ 四边形ABCH是矩形. 又∵ AB = BC. ∴ 四边形ABCH是正方形. ∴ AB = CH = 5. ∵ ∠BAE + 2∠DAE = 90°，∠BAE + ∠DAE + ∠DAH = 90°，∠BAE + ∠DAE + ∠ABM = 90°，∴ ∠ABM = ∠HAD = ∠DAE. ∵ AB = HA，∠BAM = ∠H = 90°，∴ △BAM≌△AHD. ∴ AM = HD. ∵ ∠DAE = ∠DAH，AF = AF，∠AFG = ∠AFM = 90°，∴ △AGF≌△AMF. ∴ AG = AM = 1. ∴ HD = 1. ∴ CD = CH - DH = 4.