典例4 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，将矩形ABCD对折，使点B和点D重合，求折痕MN的长.
　　　　　　　　　　　　　　　

如图，过点M作ME⊥BC，垂足为E，连接BD. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD = BC = 8，∠A = ∠ABC = 90°. 在Rt△ABD中，BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$. 由折叠的性质可知，MN⊥BD，∴ ∠ADB + ∠NMD = 90°. ∵ ∠A = ∠ABE = ∠MEB = 90°，∴ 四边形ABEM是矩形. ∴ ∠EMA = 90°，ME = AB = 6. ∴ ∠EMD = 180° - ∠EMA = 90°. ∴ ∠EMN + ∠NMD = 90°. ∴ ∠EMN = ∠ADB. ∵ ∠MEN = ∠A = 90°，∴ △MNE∽△DBA. ∴ $\frac{MN}{DB}=\frac{ME}{DA}$. ∴ $\frac{MN}{10}=\frac{6}{8}$. ∴ MN = 7.5.

典例5 (2024·盐城盐都模拟)
如图，在矩形ABCD中，$\frac{AB}{AD}=\frac{3}{4}$，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B的对应点B'落在边CD上，得到四边形A'B'FE. 若EF = $\frac{9\sqrt{10}}{2}$，sin∠A'ED = $\frac{3}{5}$，则B'D的长为______.
　　　　　　　　　　　　　　　

如图，过点A作AG//EF，交BC于点G，连接BB'交AG于点H，设A'B'与AD交于点M. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC = ∠BAD = ∠C = 90°，BC = AD，BC//AD. ∵ AG//EF，∴ 四边形AEFG是平行四边形. ∴ AG = EF = $\frac{9\sqrt{10}}{2}$. 由折叠的性质，可得B'F = BF，BB'⊥EF，∠A' = ∠BAD = 90°，∠A'B'F = ∠ABF = 90°，∴ AG⊥BB'. ∴ ∠BAH + ∠ABH = 90° = ∠ABH + ∠CBB'. ∴ ∠BAG = ∠CBB'. 又∵ ∠ABG = ∠BCB' = 90°，∴ △GAB∽△B'BC. ∴ $\frac{AG}{BB'}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{4}$. ∴ BB' = $\frac{4}{3}AG = 6\sqrt{10}$. ∵ ∠A'ED + ∠A'ME = 90°，∠DMB' + ∠DB'M = 90° = ∠DB'M + ∠CB'F，∠A'ME = ∠DMB'，∠CB'F + ∠CFB' = 90°，∴ ∠CFB' = ∠A'ED. ∴ sin∠CFB' = sin∠A'ED = $\frac{B'C}{B'F}=\frac{3}{5}$. 设BF = B'F = 5m，则B'C = 3m. ∴ CF = $\sqrt{B'F^{2}-B'C^{2}} = 4m$，则BC = CF + BF = 9m. 在Rt△BCB'中，由勾股定理，得B'B^{2}=BC^{2}+B'C^{2}，∴ $(6\sqrt{10})^{2}=(9m)^{2}+(3m)^{2}$，解得m = 2(负值舍去). ∴ BC = 18，B'C = 6. ∴ CD = AB = $\frac{3}{4}BC=\frac{27}{2}$. ∴ B'D = CD - B'C = $\frac{27}{2}-6=\frac{15}{2}$.

典例6 如图，在Rt△ACB中，AC = 4，BC = 3，D为边AC上一点，连接BD，E为边AB上的一点，CE⊥BD. 当AD = CD时，求AE的长.
　　　　　　　　　　　　　　　

如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G. 易知AD = CD = $\frac{1}{2}AC = 2$，△BCD∽△CAG，∴ $\frac{CD}{AG}=\frac{CB}{AC}$，即$\frac{2}{AG}=\frac{3}{4}$. ∴ AG = $\frac{8}{3}$. 易知AB = 5，△AEG∽△BEC，∴ $\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{BE}$. 设AE = x，则BE = 5 - x. ∴ $\frac{\frac{8}{3}}{3}=\frac{x}{5 - x}$，解得x = $\frac{40}{17}$. 经检验，x = $\frac{40}{17}$是原分式方程的解，且符合题意. ∴ AE的长为$\frac{40}{17}$.

典例7 如图，在▱ABCD中，AB = $2\sqrt{2}$，BC = 4，∠B = 45°，把▱ABCD对折，使点B和点D重合，求折痕MN的长.
　　　　　　　　　　　　

如图，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，过点M作MF⊥BC于点F，连接BD. 易得AD = BC = 4，MF = BE = AE = 2，∴ DE = AE + AD = 2 + 4 = 6. ∴ 在Rt△BED中，BD = $\sqrt{BE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$. 易知△MNF∽△DBE，∴ $\frac{MN}{DB}=\frac{MF}{DE}$，即$\frac{MN}{2\sqrt{10}}=\frac{2}{6}$. ∴ MN = $\frac{2\sqrt{10}}{3}$.