典例4 如图，在矩形ABCD中，AB = 3，AD = 4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且DM = 1，P是BC上一动点，连接PM，PO，求PM - PO的最大值.

∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=3.∵DM=1，∴AM=3.如图，连接MO并延长，交BC于点P，则此时PM - PO有最大值，最大值为OM的长.∵AM//CP，∴∠OAM=∠OCP.∵O是AC的中点，∴OA=OC.又∵∠AOM=∠COP，∴△AOM≌△COP.∴AM=CP=3，OM=OP.∴PB=1.过点M作MN⊥BC于点N，则易得四边形MNCD是矩形.∴MN=CD=3，CN=DM=1.∴PN=BC - PB - CN=2.∴PM=$\sqrt{MN^{2}+PN^{2}}=\sqrt{13}$.∴OM=$\frac{\sqrt{13}}{2}$.∴PM - PO的最大值为$\frac{\sqrt{13}}{2}$.

典例5 如图，∠AOB = 30°，P是∠AOB内部的一点，且OP = 4，M，N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD.易知此时△PMN的周长有最小值.由作图可知，PM=CM，OP=OC，∠AOC=∠AOP，PN=DN，OP=OD，∠BOD=∠BOP.∴OC=OD=OP=4，∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2∠AOP+2∠BOP=2∠AOB=60°.∴△COD是等边三角形.∴CD=OC=OD=4.∴△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=4.故选B.

典例6 如图，在四边形ABCD中，∠BAD = 120°，∠B = ∠D = 90°，AB = 1，AD = 2，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，求△AMN周长的最小值.

如图，作点A关于BC，CD的对称点A'，A''，连接A'A''，交BC于点M，交CD于点N，则易得A'A''的长即为△AMN周长的最小值.过点A'作A'H⊥DA，交DA的延长线于点H.由作图可知，AA'=2AB=2，AA''=2AD=4.∵∠BAD=120°，∴∠HAA'=60°.∵A'H⊥HA，即∠H=90°，∴∠AA'H=30°.∴易得AH=$\frac{1}{2}AA'=1$.∴A'H=$\sqrt{AA'^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3}$，A''H=AH+AA''=5.∴A'A''=$\sqrt{A'H^{2}+A''H^{2}}=2\sqrt{7}$.∴△AMN周长的最小值为$2\sqrt{7}$.