典例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD = BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC面积的一半，则当PB + PC的值最小时，∠PBC的度数为（ ）

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°

∵△PBC的面积等于△ABC面积的一半，∴易得点P在AD的垂直平分线上.如图，作AD的垂直平分线MN，作点B关于MN的对称点B'，连接B'C，交MN于点P.由对称性可知，PB'=PB，∴PB+PC=PB'+PC=B'C，此时PB+PC有最小值，最小值为B'C的长.由作图易知，AD=BB'，∠B'BC=90°.∵AD=BC，∴BB'=BC.∴△BCB'是等腰直角三角形.∴∠B'CB=∠B'=45°.∵PB=PB'，∴∠B'BP=∠B'=45°.∴∠PBC=45°.故选B.

典例2 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点P在AC上运动，以CE为边向外作正方形CEGF，连接PD，PG. 若BC = 2，则PD + PG的最小值为________.

如图，连接BG，BP.∵四边形ABCD为正方形，∴易得点B与点D关于对角线AC对称.∴PD=PB.∴PD+PG=PB+PG.∴当点B，P，G在同一条直线上时，PB+PG有最小值，最小值为BG的长，即PD+PG的最小值为BG的长.∵在正方形ABCD中，BC=2，E是CD的中点，四边形CEGF为正方形，∴CE=GF=CF=1，∠F=90°.∴BF=3.在Rt△BFG中，由勾股定理，得BG=$\sqrt{BF^{2}+GF^{2}}=\sqrt{10}$，∴PD+PG的最小值为$\sqrt{10}$.

典例3 如图，在△ABC中，AB = AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB = 12，△BMC的周长是20. 若点P在直线MN上，则PA - PB的最大值为________.

∵MN垂直平分AC，∴AM=CM.又∵$C_{△BMC}=BM+CM+BC=20，$BM+CM=BM+AM=AB=12，∴BC=20 - 12=8.如图，在MN上取一点P，连接PA，PB，PC.∵MN垂直平分AC，∴PA=PC.∴PA - PB=PC - PB.∵在△PBC中，PC - PB＜BC，∴当P，B，C三点共线时，PC - PB有最大值，最大值为BC的长，即PA - PB的最大值为8.