11.（聊城中考）如图，直线$y=px+3(p\neq0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$在第一象限内的图像交于点$A(2,q)$，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线$y=px+3$于点E，且$S_{\triangle AOB}:S_{\triangle COD}=3:4$.
（1）求k、p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标.

(1) $\because$ 直线 $y = px + 3$ 与 $y$ 轴的交点为 $B$，$\therefore B(0,3)$，即 $OB = 3$. $\because$ 点 $A$ 的横坐标为 $2$，$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$. $\because S_{\triangle AOB}:S_{\triangle COD}=3:4$，$\therefore S_{\triangle COD}=4$. 设 $C(m,\frac{k}{m})$，$\therefore \frac{1}{2}\cdot m\cdot\frac{k}{m}=4$，解得 $k = 8$. $\because$ 点 $A(2,q)$ 在 $y = \frac{8}{x}$ 上，$\therefore q = 4$，把点 $A(2,4)$ 代入 $y = px + 3$，得 $p = \frac{1}{2}$，$\therefore k = 8$，$p = \frac{1}{2}$.
(2) 由 (1) 得 $C(m,\frac{8}{m})$，$\therefore E(m,\frac{1}{2}m + 3)$. $\because OE$ 将四边形 $BOCE$ 分成两个面积相等的三角形，$\therefore S_{\triangle BOE}=S_{\triangle COE}$. $\because S_{\triangle BOE}=\frac{3}{2}m$，$S_{\triangle COE}=\frac{m}{2}(\frac{1}{2}m + 3-\frac{8}{m})$，$\therefore \frac{3}{2}m=\frac{m}{2}(\frac{1}{2}m + 3-\frac{8}{m})$，得 $m^2 = 16$，解得 $m = 4$ 或 $m = -4$ (不符合题意，舍去)，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,2)$.

12.（2024·金华月考）如图，点P、Q、R为反比例函数图像上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴、y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为$S_1$、$S_2$、$S_3$，其中$OA:AB:BC = 1:2:3$，若$S_2 = 6$，则$S_1+S_3=$（ ）

A. 15
B. 12
C. 10
D. 18

A 解析：如图，设反比例函数为 $y = \frac{k}{x}(k\neq0)$，$\therefore OA\times AR = OB\times BQ = OC\times CP = k$. $\because OA:AB:BC = 1:2:3$，$S_2 = 6$，$\therefore$ 设 $OA = x$，$AB = 2x$，$BC = 3x$，$\therefore OA = x$，$OB = 3x$，$OC = 6x$，$\therefore AR = \frac{k}{x}$，$BQ = \frac{k}{3x}$，$CP = \frac{k}{6x}$，$\therefore S_1 = OA\times CP = x\cdot\frac{k}{6x}=\frac{k}{6}$，$S_4 = CP\times AB=\frac{k}{6x}\cdot2x=\frac{k}{3}$，$\therefore S_1 + S_4=\frac{k}{6}+\frac{k}{3}=\frac{k}{2}$，$\therefore S_2 + S_5 = k-\frac{k}{2}=\frac{k}{2}$，$\therefore S_2 = S_4 = 6$，$S_5 = S_1=\frac{k}{6}$，$\therefore \frac{k}{3}=6$，得 $k = 18$. $\therefore S_5 = S_1=\frac{k}{6}=3$. $\because S_1 + S_5 + S_3 = k = 18$，$\therefore S_1 + S_3 = 18 - 3 = 15$. 故选 A.

技法点拨：当已知条件难以直接解决问题时，往往需设定参数，如线段的长、点的坐标等，通过参数沟通已知和未知，起到桥梁作用，解决问题的过程中含参数的量一般会“自动消失”，如合并为 0、约分等.

13.（2023·泰州中考）在平面直角坐标系xOy中，点$A(m,0)$，$B(m - a,0)(a＞m＞0)$的位置和函数$y_1=\frac{m}{x}(x＞0)$、$y_2=\frac{m - a}{x}(x＜0)$的图像如图所示. 以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数$y_1$的图像相交于点E，CD边与函数$y_1$、$y_2$的图像分别相交于点G、H，一次函数$y_3$的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH.
（1）若$m = 2$，$a = 4$，求函数$y_3$的表达式及$\triangle PGH$的面积.
（2）当a、m在满足$a＞m＞0$的条件下任意变化时，$\triangle PGH$的面积是否变化？请说明理由.
（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数$y_2$的图像上，并说明理由.

(1) $\because m = 2$，$a = 4$，$\therefore A(2,0)$，$B(-2,0)$，$y_1 = \frac{2}{x}$，$y_2 = -\frac{2}{x}$，$\therefore AB = 4$，当 $x = 2$ 时，$y_1 = \frac{2}{2}=1$，则 $E(2,1)$；当 $y_1 = 4$ 时，$4 = \frac{2}{x}$，解得 $x = \frac{1}{2}$，则 $G(\frac{1}{2},4)$；当 $y_2 = 4$ 时，$4 = -\frac{2}{x}$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，则 $H(-\frac{1}{2},4)$. 设一次函数 $y_3$ 的表达式为 $y_3 = kx + b$，将 $E(2,1)$，$G(\frac{1}{2},4)$，代入 $y_3 = kx + b$ 得 $\begin{cases}2k + b = 1\\\frac{1}{2}k + b = 4\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -2\\b = 5\end{cases}$，$\therefore y_3 = -2x + 5$，当 $x = 0$ 时，$y_3 = 5$，则 $P(0,5)$，$\therefore S_{\triangle PGH}=\frac{1}{2}\times[\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})]\times(5 - 4)=\frac{1}{2}$. 综上，函数 $y_3$ 的表达式为 $y_3 = -2x + 5$，$\triangle PGH$ 的面积为 $\frac{1}{2}$.
(2) $\triangle PGH$ 的面积不变，理由：$\because A(m,0)$，$B(m - a,0)$，$y_1 = \frac{m}{x}$，$y_2 = \frac{m - a}{x}$，$\therefore AB = a$，当 $x = m$ 时，$y_1 = \frac{m}{m}=1$，则 $E(m,1)$；当 $y_1 = a$ 时，$a = \frac{m}{x}$，解得 $x = \frac{m}{a}$，则 $G(\frac{m}{a},a)$；当 $y_2 = a$ 时，$a = \frac{m - a}{x}$，解得 $x = \frac{m - a}{a}$，则 $H(\frac{m - a}{a},a)$. 设一次函数 $y_3$ 的表达式为 $y_3 = k_1x + b_1$，将 $E(m,1)$，$G(\frac{m}{a},a)$，代入 $y_3 = k_1x + b_1$ 得 $\begin{cases}mk_1 + b_1 = 1\\\frac{m}{a}k_1 + b_1 = a\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k_1 = -\frac{a}{m}\\b_1 = 1 + a\end{cases}$，$\therefore y_3 = -\frac{a}{m}x + 1 + a$，当 $x = 0$ 时，$y_3 = 1 + a$，则 $P(0,1 + a)$，$\therefore S_{\triangle PGH}=\frac{1}{2}\times[\frac{m}{a}-(\frac{m - a}{a})]\times(1 + a - a)=\frac{1}{2}$，$\therefore \triangle PGH$ 的面积不变.
(3) 直线 $PH$ 与 $BC$ 边的交点在函数 $y_2$ 的图像上，理由：设直线 $PH$ 的表达式为 $y = k_2x + b_2$，将 $P(0,1 + a)$，$H(\frac{m - a}{a},a)$，代入 $y = k_2x + b_2$ 得 $\begin{cases}b_2 = 1 + a\\\frac{m - a}{a}k_2 + b_2 = a\end{cases}$，解得 $\begin{cases}b_2 = 1 + a\\k_2 = \frac{a}{a - m}\end{cases}$，$\therefore y = \frac{a}{a - m}x + 1 + a$，当 $x = m - a$ 时，$y = \frac{a}{a - m}\cdot(m - a)+1 + a = 1$，$\therefore$ 直线 $PH$ 与 $BC$ 边的交点坐标为 $(m - a,1)$，当 $x = m - a$ 时，$y_2 = \frac{m - a}{m - a}=1$，$\therefore$ 直线 $PH$ 与 $BC$ 边的交点在函数 $y_2$ 的图像上.