10. (1)(2023·江山模拟)二次函数$y = 2(x + 1)^2 + 3$的图像上有三个不同的点$A(x_1, m)$、$B(x_1 + x_2, n)$、$C(x_2, m)$,则$n$的值为______。
(2)(2023·大连金州区月考)点$A(m - 1, y_1)$、$B(m, y_2)$都在二次函数$y = (x - 1)^2 + n$的图像上。若$y_1 ＜ y_2$,则$m$的取值范围为______。

11. (2023·兴化模拟)已知$A$、$B$两点的坐标分别为$(3, -4)$、$(0, -2)$,线段$AB$上有一动点$M(m, n)$,过点$M$作$x$轴的平行线交抛物线$y = a(x - 1)^2 + 2$于$P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$两点。若$x_1 ＜ m \leq x_2$,则$a$的取值范围为______。

12. (2022·丽水中考)如图,已知点$M(x_1, y_1)$、$N(x_2, y_2)$在二次函数$y = a(x - 2)^2 - 1(a ＞ 0)$的图像上,且$x_2 - x_1 = 3$。
(1)若二次函数的图像经过点$(3, 1)$。
①求这个二次函数的表达式；
②若$y_1 = y_2$,求顶点到$MN$的距离。
(2)当$x_1 \leq x \leq x_2$时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点$M$、$N$在对称轴的异侧,求$a$的取值范围。
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13. (长春中考)在平面直角坐标系中,抛物线$y = 2(x - m)^2 + 2m$($m$为常数)的顶点为$A$。
(1)当$m = \frac{1}{2}$时,点$A$的坐标是______,抛物线与$y$轴交点的坐标是______。
(2)若点$A$在第一象限,且$OA = \sqrt{5}$,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值$y$随$x$的增大而减小时$x$的取值范围。
(3)当$x \leq 2m$时,若函数$y = 2(x - m)^2 + 2m$的最小值为3,求$m$的值。
(4)分别过点$P(4, 2)$、$Q(4, 2 - 2m)$作$y$轴的垂线,交抛物线的对称轴于点$M$、$N$。当抛物线$y = 2(x - m)^2 + 2m$与四边形$PQNM$的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点$B$、点$C$,且点$B$的纵坐标大于点$C$的纵坐标。若点$B$到$y$轴的距离与点$C$到$x$轴的距离相等,直接写出$m$的值。
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