典例7(2024·扬州)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况,猜想结论，然后研究一般情况,证明结论.
在△ABC中,CA = CB,⊙O是△ABC的外接圆,点D在⊙O上,连接AD,BD,CD,AD＞BD.

[特殊化感知]
(1)如图①,若∠ACB = 60°,点D在AO的延长线上,则AD - BD与CD之间的数量关系为______________;

[一般化探究]
(2)如图②,若∠ACB = 60°,点C,D在AB同侧,判断AD - BD与CD之间的数量关系并说明理由;

[拓展性延伸]
(3)若∠ACB = α,直接写出AD,BD,CD之间满足的数量关系(用含α的式子表示).
　　　　　　　

[思路点拨](1)利用等边三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可.(2)延长BD至点E,使DE = CD，连接CE,利用等边三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可.(3)利用分类讨论的思想，分两种情形讨论解答:①当点C，D在AB同侧时，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BD的延长线于点E,连接CE,则CE = CD,过点C作CF⊥DE于点F，利用圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系(三角函数)得到DE = 2DF = 2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$,再利用全等三角形的判定与性质，得到AD = BE，则可得结论;②当点C,D在AB两侧时，延长DB至点E,使BE = AD,连接CE，过点C作CF⊥DE于点F,利用①的方法解答即可.

(1) ∵CA=CB，∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形. ∴∠BAC=60°. ∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=∠ACD=90°. ∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，∴∠ADB=∠ACB=60°.
∴∠BAD=30°. ∴∠CAD=∠BAC - ∠BAD=30°. ∴在Rt△ABD和Rt△ACD中，BD=CD=$\frac{1}{2}$AD. ∴AD - BD=CD. (2) AD - BD=CD. 理由：如图①，延长BD至点E，使DE=CD，连接CE. ∵CA=CB，∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形. ∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°. ∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠CDE=∠BAC=60°. ∵DE=CD，
∴△CDE为等边三角形. ∴CE=CD，∠DCE=∠E=60°.
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+∠BCD，∠BCE=∠BCD+∠DCE=60°+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}CA = CB,\\∠ACD = ∠BCE,\\CD = CE,\end{cases}$ ∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE. ∵BE=BD+DE=BD+CD，∴AD=BD+CD.
∴AD - BD=CD. (3) ① 如图②，当点C，D在AB同侧时，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BD的延长线于点E，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F. ∵CA=CB，∠ACB=α，
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}(180° - ∠ACB)=90°-\frac{\alpha}{2}$. ∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠CDE=∠BAC=90°-$\frac{\alpha}{2}$. 由作图可知，CE=CD，∴∠E=∠CDE=90°-$\frac{\alpha}{2}$. ∴∠DCE=α.
∵CF⊥DE，CE=CD，∴∠DCF=∠ECF=$\frac{\alpha}{2}$，DF=EF=$\frac{1}{2}$DE=CD·sin$\frac{\alpha}{2}$. ∴DE=2DF=2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$.
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=α+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD=α+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}CA = CB,\\∠ACD = ∠BCE,\\CD = CE,\end{cases}$ ∴△ACD≌△BCE. ∴AD=BE.
∵BE=BD+DE=BD+2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$，∴AD=BD+2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$. ∴AD - BD=2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$. ② 如图③，当点C，D在AB两侧时，延长DB至点E，使BE=AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F. ∵CA=CB，∠ACB=α，∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}(180° - ∠ACB)=90°-\frac{\alpha}{2}$. ∵四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠CBE=∠CAD. 在△CAD和△CBE中，$\begin{cases}CA = CB,\\∠CAD = ∠CBE,\\AD = BE,\end{cases}$ ∴△CAD≌△CBE. ∴CD=CE，∠ADC=∠E. ∵∠ADC=∠ABC=90°-$\frac{\alpha}{2}$，∴∠E=∠CDE=90°-$\frac{\alpha}{2}$. ∴∠DCE=α. ∵CF⊥DE，CD=CE，∴∠DCF=∠ECF=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{\alpha}{2}$. ∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE=CD·sin$\frac{\alpha}{2}$.
∴DE=2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$. ∵DE=BD+BE=BD+AD，∴AD+BD=2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$. 综上所述，当点C，D在AB同侧时，AD - BD=2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$；当点C，D在AB两侧时，AD+BD=2CD·sin$\frac{\alpha}{2}$.