7.(2024·连云港)[问题情境]
　(1)如图①,圆与大正方形的各边都相切,小正方形是圆内接正方形,那么大正方形的面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图②),这时候就容易发现大正方形的面积是小正方形面积的________倍.由此可见,图形变化是解决问题的有效策略.
　　　　　　　　　　　　　　　

[操作实践]
　(2)如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边a,b,c,d之间存在某种数量关系.小昕按如图③所示的步骤进行操作,并将最终图形抽象成图④.请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系.
　　　　　　　

[探究应用]
　(3)如图⑤,在图④的基础上,过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥CD于点F,小昕将△PDC绕点P按逆时针方向旋转,他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE = 8,PF = 5,当∠DAP最大时,求AD的长.
　　　　
　(4)如图⑥,在Rt△ABC中,∠C = 90°,点D,E分别在边AC和BC上,连接DE,AE,BD.
　　　若AC + CD = 5,BC + CE = 8,求AE + BD的最小值.
　　　　　　

(1) 2. (2) 如图①，记题图③中的四边形为四边形EFGH，对角线EG，FH相交于点O. ∵EG⊥FH，∴由勾股定理，得a²=OF²+OE²，c²=OG²+OH²，d²=OE²+OH²，b²=OF²+OG². ∴a²+c²=b²+d². ∴在题图④中，PA²+PC²=PB²+PD². (3) 如图②，∵将△PDC绕点P按逆时针方向旋转，∴点D在以点P为圆心，PD长为半径的圆上运动.
∵A为圆外一个定点，∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大.
∴PD⊥AD. ∴AD²=AP² - PD². 易知AE=DF. ∵PE=8，PF=5，∴AD²=AP² - PD²=PE²+AE² - PF² - DF²=PE² - PF²=39. ∴AD=$\sqrt{39}$. (4) 如图③，将△BDC沿BC对折，点D的对应点为D₁，将△AEC沿AC对折，点E的对应点为E₁，连接D₁E₁，则CD=CD₁，CE=CE₁. 再将△ABE₁沿AC方向平移，使点A与点D₁重合(如图④)，得△B₁D₁E₂. 易得AE+BD=D₁E₂+BD₁. ∴当E₂，D₁，B三点共线时，D₁E₂+BD₁取得最小值，即AE+BD取得最小值. 连接BE₂，BB₁，E₁E₂，易得四边形BB₁E₂E₁是矩形，∴∠BE₁E₂=90°.
∵AC+CD=5，BC+CE=8，∴易知E₁E₂=5，BE₁=8. ∴在Rt△BE₁E₂中，BE₂=$\sqrt{BE₁²+E₁E₂²}=\sqrt{89}$. ∴AE+BD的最小值为$\sqrt{89}$.