典例1 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE = 3AE，BC = 8，当点D从点B运动到点C时，求点E运动的路径长。

∵DE = 3AE，点D在BC上运动，∴点E的运动路径为线段，且与BC平行. 如图，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC于点E₁，E₂，则E₁E₂即为点E的运动路径. ∵E₁E₂//BC，∴△AE₁E₂∽△ABC. ∴$\frac{E_{1}E_{2}}{BC}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{4}$. ∴E₁E₂ = $\frac{1}{4}$BC = 2，即点E运动的路径长为2.

典例2 如图，AB = 2，D是等腰直角三角形ABC斜边AC上的一动点，以BD为边向右下方作等边三角形BDE，当动点D由点A运动到点C时，求动点E运动的路径长。

∵AB = BC = 2，∠ABC = 90°，∴AC = $2\sqrt{2}$. 如图，过点A构造等边三角形ABE₁，易知△BAD≌△BE₁E，∴AD = E₁E. ∴点E的运动路径长等于点D的运动路径长，即为AC $2\sqrt{2}$. 从旋转的角度来看，以B为定点，动点E可以看作主动点D绕点B按顺时针方向旋转60°得到，∴点E运动的路径长等于点D运动的路径长，即为$2\sqrt{2}$.

典例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 4，AB = 2$\sqrt{5}$，D是AB上任意一点，连接CD，CE⊥CD，且CE = 2CD，F是BC的中点，连接EF，求EF长的最小值。
　　　　　　　　　　　　

连接BE. ∵BC = 4，AB = $2\sqrt{5}$，∠ACB = 90°，∴AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$ = 2. ∴$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}=\frac{CD}{CE}$. ∵∠ACB = ∠DCE = 90°，∴∠ACB - ∠DCB = ∠DCE - ∠DCB，即∠ACD = ∠BCE. ∴△ACD∽△BCE. ∴∠A = ∠CBE. ∵∠A + ∠ABC = 90°，∴∠CBE + ∠ABC = 90°，即∠ABE = 90°. ∴BE⊥AB，即点E在过点B且垂直AB的射线上运动. ∴当FE⊥BE时，EF的长有最小值，此时∠BEF = ∠ACB = 90°. ∵∠EBF = ∠A，∴△BEF∽△ACB. ∴$\frac{EF}{CB}=\frac{BF}{AB}$. ∵F是BC的中点，∴BF = CF = $\frac{1}{2}$BC = 2. ∴$\frac{EF}{4}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$. ∴EF = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$. ∴EF长的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

典例4 如图，M是正方形ABCD的边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BQ，连接MQ。若AB = 4$\sqrt{2}$，MP = $\sqrt{2}$，求MQ长的最小值。
　　　　　　　　　　　　

如图，连接BM，将△BCM绕点B按逆时针方向旋转90°得到△BEF，连接MF，QF. ∵∠CBE = 90°，∠ABC = 90°，∴∠ABC + ∠CBE = 180°. ∴A，B，E三点共线. ∵∠PBQ = ∠MBF = 90°，∴∠PBQ - ∠MBQ = ∠MBF - ∠MBQ，即∠MBP = ∠FBQ. 又∵BP = BQ，BM = BF，∴△BPM≌△BQF. ∴MP = QF = $\sqrt{2}$. ∴点Q的运动轨迹是以点F为圆心，$\sqrt{2}$为半径的弧. ∵BC = AB = $4\sqrt{2}$，CM = $\frac{1}{2}$CD = $2\sqrt{2}$，∴BM = $\sqrt{BC^{2}+CM^{2}}$ = $2\sqrt{10}$. ∵∠MBF = 90°，BM = BF，∴MF = $\sqrt{2}$BM = $4\sqrt{5}$. ∵MQ≥MF - QF，∴MQ≥$4\sqrt{5}-\sqrt{2}$. ∴MQ长的最小值为$4\sqrt{5}-\sqrt{2}$.