典例5 如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB = 4，BC = 2，P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作直角三角形PCD，且使∠DCP = 60°，连接OD，求OD长的最大值。
　　　　　　　　　　　　　

如图，作△COE，使得∠OEC = 90°，∠OCE = 60°，则易得CO = 2CE，OE = $2\sqrt{3}$. ∵∠OCE = ∠DCP = 60°，∴∠OCE - ∠ECP = ∠DCP - ∠ECP，即∠OCP = ∠ECD. ∵∠CDP = 90°，∠DCP = 60°，∴CP = 2CD. ∴$\frac{CO}{CE}=\frac{CP}{CD}=2$. ∴△COP∽△CED. ∴$\frac{OP}{ED}=\frac{CP}{CD}=2$，即ED = $\frac{1}{2}$OP = 1. ∵E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上. ∵OD≤OE + DE = $2\sqrt{3}+1$，∴OD长的最大值为$2\sqrt{3}+1$.

典例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 16，BC = 12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，M是CP的中点，求点M运动的路径长。
　　　　　　　　　　　　　　　

如图，连接AP，BP. ∵∠ACB = 90°，AC = 16，BC = 12，∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = 20. ∵AB是半圆的直径，∴∠APB = 90°，即AP⊥BP. 分别取BC，AC的中点E，F，连接ME，MF，EF. ∵M，E分别为PC，BC的中点，∴易得ME//BP，ME = $\frac{1}{2}$BP. 同理，易得MF//AP，MF = $\frac{1}{2}$AP. ∴ME⊥MF，即∠EMF = 90°. ∴点M在以EF为直径的半圆上. 易得EF = $\frac{1}{2}$AB = 10. ∴点M运动的路径长为$\frac{1}{2}\times\pi\times10 = 5\pi$.

典例7 如图①，在平面直角坐标系中，直线y = -5x + 5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y = x² + bx + c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B。
(1) 求抛物线对应的函数表达式。
(2) 如图②，以点B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E，F两点（点F在点E右侧）。若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰直角三角形PAD，使∠PAD = 90°（P，A，D三点为逆时针顺序），连接DF，求DF长的取值范围。
　　　

(1)在y = -5x + 5中，令x = 0，得y = 5；令y = 0，得x = 1. ∴点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，5). ∵A(1，0)，C(0，5)在抛物线y = $x^{2}+bx + c$上，∴$\begin{cases}1 + b + c = 0\\c = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -6\\c = 5\end{cases}$. ∴抛物线对应的函数表达式为y = $x^{2}-6x + 5$. (2)如图，将点B绕点A按顺时针方向旋转90°到点B'，连接AB'，PB，B'D，B'F. ∵∠B'AB = 90°. ∵∠PAD = 90°，∴∠B'AD + ∠BAD = 90°，∠PAB + ∠BAD = 90°. ∴∠B'AD = ∠BAP. ∵AB = AB'，AP = AD，∴△ADB'≌△APB. ∴B'D = BP. ∵BP = 2，∴B'D = 2. ∴点D在以点B'为圆心，2为半径的圆上运动. 在y = $x^{2}-6x + 5$中，令y = 0，得$x_{1}=1$，$x_{2}=5$. ∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(5，0). ∴AB = AB' = 4. ∵BF = 2，∴AF = AB + BF = 4 + 2 = 6. ∴在Rt△B'AF中，B'F = $\sqrt{AB'^{2}+AF^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+6^{2}}$ = $2\sqrt{13}$. ∴DF长的最大值为B'F + B'D = $2\sqrt{13}+2$，最小值为B'F - B'D = $2\sqrt{13}-2$. ∴DF长的取值范围是$2\sqrt{13}-2\leq DF\leq2\sqrt{13}+2$.