典例5 如图，在矩形ABCD中，AB = 2，AD = 3，E，F分别为边AD，CD上的点，且EF = 2，G为EF的中点. 若P为BC上一动点，则PA + PG的最小值为多少?
　　　　　　　　　　　　　　

如图，连接DG. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD = ∠ABC = ∠ADC = 90°. ∵EF = 2，G为EF的中点，∴DG = $\frac{1}{2}EF = 1$. 以点D为圆心，1为半径作圆，则G是⊙D上的点. 作点A关于BC的对称点A'，连接A'D. 易得当PA + PG最小时，A'，P，G，D四点共线且A'D交⊙D于点G，交BC于点P. 此时PA + PG的值最小，为A'G的长. 易知A，B，A'三点共线，且A'B = AB. ∵AB = 2，AD = 3，∴AA' = 4. ∴A'D = $\sqrt{AA'^{2}+AD^{2}} = 5$. ∴A'G = A'D - DG = 4，即PA + PG的最小值为4.

典例6 如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于点B，C，连接OP. 若⊙O的半径为3，$OP=\sqrt{5}，$则弦BC长的最大值为__________.
　　　　　　　

如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB. ∵点O为圆心，∴OB = OA. 又∵OE⊥AB，∴AE = BE. ∴易得OE = $\frac{1}{2}BC$. ∵OE≤OP，∴BC≤2OP. ∴当点E，P重合，即OP⊥AB时，弦BC的长有最大值. ∴弦BC长的最大值为2OP = $2\sqrt{5}$.

典例7 如图，在△ABC中，AB = AC = 2，$BC = 2\sqrt{3}，$D是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC = 60°，求△DBC面积的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　

如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB = AC = 2，BC = $2\sqrt{3}$，∴BH = $\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$. ∵AH⊥BC，∴∠AHB = 90°. ∴AH = $\sqrt{AB^{2}-BH^{2}} = 1$. ∴sin∠ABC = $\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2}$. ∴∠ABC = ∠ACB = 30°. ∴∠BAC = 120°. ∵∠BDC = 60°，∴∠BDC = $\frac{1}{2}\angle BAC$. ∴点D在以点A为圆心，AB长为半径的⊙A上运动. 作⊙A，延长HA交⊙A于点D'，连接BD'，CD'. 当点D运动到点D'的位置上时，△DBC的面积有最大值. ∵AD' = AB = 2，∴D'H = AD' + AH = 3. ∴△DBC面积的最大值为$\frac{1}{2}BC\cdot D'H=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times3 = 3\sqrt{3}$.