典例1 如图，AB是⊙O的弦，$AB = 2\sqrt{2}，$C是⊙O上的一个动点，且∠C = 45°. 若M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值为__________.
　　　　　　　

如图，连接OA，OB. ∵∠C = 45°，∴∠AOB = 2∠C = 90°. 又∵OA = OB，∴△AOB为等腰直角三角形. ∴OA = $\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\times2\sqrt{2}=2$. ∵M，N分别是AB，BC的中点，∴易得MN = $\frac{1}{2}AC$. 当AC为直径时，AC长的值最大，即当AC = 2OA = 4时，MN长的最大值为2.

典例2 如图，弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D不与点A，B重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P. 若AB = 8，则PM长的最大值为__________.
　　　　　　

如图，延长CP交⊙O于点K，连接DK. ∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴PC = PK. ∴P为CK的中点. 又∵M为CD的中点，∴易得PM = $\frac{1}{2}DK$. 当DK经过圆心O时，DK长的值最大，此时DK = AB = 8，∴PM长的最大值为$\frac{1}{2}DK = 4$.

典例3 如图，圆与坐标轴分别交于O，A(6，0)，B(0，2)三点，P是圆上一个动点，点C的坐标为(0，－3)，则PC长的最小值为（ ）
　　　　　　　　　
$A. 4\sqrt{2}-\sqrt{10} B. 8\sqrt{2}-\sqrt{10}$
$C. 2\sqrt{5}-\sqrt{10} D. 5-\sqrt{10}$

如图，连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT. ∵A(6，0)，B(0，2)，∴OA = 6，OB = 2. ∵∠AOB = 90°，∴AB为圆的直径，点T为圆心，AB = $\sqrt{OB^{2}+OA^{2}} = 2\sqrt{10}$. ∴BT = AT = PT = $\sqrt{10}$. ∵T为AB的中点，∴易得T(3，1). ∵C(0，-3)，∴CT = $\sqrt{(3 - 0)^{2}+[1 - (-3)]^{2}} = 5$. ∴PC≥CT - PT = 5 - $\sqrt{10}$. ∴PC长的最小值为5 - $\sqrt{10}$. 故选D.

典例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是$\overset{\frown}{CD}$上的一个动点，连接AP，求AP长的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　

如图，取BC的中点E，连接AE，交半圆于点P'，当点P运动到点P'的位置上时，AP的长最小. 易得点E为半圆的圆心. ∵∠ACB = 90°，AC = 2，CE = $\frac{1}{2}BC = 1$，∴AE = $\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{5}$，EP' = CE = 1. ∴AP' = AE - EP' = $\sqrt{5}-1$，即AP长的最小值为$\sqrt{5}-1$.