6 [2025 邯郸期末]一个口袋中装有 3 个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程。小明共摸了 100 次，其中 80 次摸到白球。根据上述数据，小明可估计口袋中的白球有()

A.18 个
B.15 个
C.12 个
D.10 个

6 C 设口袋中大约有 x 个白球,由题意,得 $\frac{80}{100}(x + 3) = x$，解得 x = 12,所以估计口袋中有 12 个白球。

7 [2025 东营垦利区期末]数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球、1 个黄球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是()


A.黑色
B.白色
C.红色
D.黄色

7 C 观察题图可知,频率稳定在 0.20 左右,所以抽到该颜色的球的概率为 0.20,因为抽到黑球的概率为 $\frac{4}{4 + 3 + 2 + 1} = 0.4$，抽到白球的概率为 $\frac{3}{4 + 3 + 2 + 1} = 0.3$，抽到红球的概率为 $\frac{2}{4 + 3 + 2 + 1} = 0.2$，抽到黄球的概率为 $\frac{1}{4 + 3 + 2 + 1} = 0.1$，所以该种球的颜色最有可能是红色。

8 如图，在正方形 $ ABCD $ 内有一个圆。利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为 $ a $，圆内的点数为 $ b $(在正方形边上和圆上的点不统计)。根据用频率估计概率的思想，可推得 $ π $ 的大小约是。

8 $\frac{4b}{a}$ 设圆的半径为 r,则正方形 ABCD 的边长为 2r,根据题意得 $\frac{π r^{2}}{2r × 2r} \approx \frac{b}{a}$，故 $π \approx \frac{4b}{a}$。

9 [新趋势·结论开放][2025 银川期中]如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有 1，2，3，4，5，6，7，8 这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字。
(1)转动转盘，转出的数字不大于 4 的概率是。
(2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为 2 的倍数小明胜，为 3 的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则。

9 解:(1) $\frac{1}{2}$
(2)这个游戏不公平。理由如下:
转出的数字为 2 的倍数的所有可能是 2,4,6,8,则小明胜的概率为 $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$；
转出的数字为 3 的倍数的所有可能是 3,6,则小强胜的概率为 $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。
因为 $\frac{1}{2} ≠ \frac{1}{4}$，所以该游戏不公平。
设计公平的游戏规则:若转出的数字是奇数,则小明胜;若转出的数字是偶数,则小强胜。(方案不唯一)
策略点拨
修改不公平的游戏的方法
一是修改游戏规则,使游戏双方获胜的概率相等;二是修改游戏工具,选择或设计使游戏双方获胜的概率相等的游戏工具。另外设计游戏时要注意合理性和可操作性。

10 [2025 梅州期中]一个不透明的袋中装有 5 个黄球、13 个黑球和 22 个红球，它们除颜色外都相同。
（1）小明和小红玩摸球游戏，规定从袋中任意摸出一个球，若摸到黑球，则小明获胜；若摸到黄球，则小红获胜。这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由。
（2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，问需要取出多少个黑球。

10 解:(1)不公平。理由如下:
因为不透明的袋中装有 5 个黄球、13 个黑球和 22 个红球，
所以小明获胜的概率为 $\frac{13}{40}$，小红获胜的概率为 $\frac{5}{40} = \frac{1}{8}$，
因为 $\frac{13}{40} ≠ \frac{1}{8}$，所以这个游戏对双方不公平。
(2)设取出 x 个黑球，
由题意得,13 - x = 5 + x,解得 x = 4。
所以需要取出 4 个黑球。