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18. (10分)(百色中考)如图，已知菱形$ABCD$的对称中心是坐标原点$O$，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图像与$AD$边交于$E(-4,\frac{1}{2})$、$F(m,2)$两点.
(1)求$k$、$m$的值；
(2)写出函数$y=\frac{k}{x}$的图像在菱形$ABCD$内$x$的取值范围.
(1)求$k$、$m$的值；
(2)写出函数$y=\frac{k}{x}$的图像在菱形$ABCD$内$x$的取值范围.
答案
(1)∵点E(-4,$\frac{1}{2}$)在$y=\frac{k}{x}$(k≠0)的图像上，∴k = - 2，∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$.∵F(m,2)在$y=-\frac{2}{x}$的图像上，
∴m = - 1.
(2)-4 ＜ x ＜ - 1或1 ＜ x ＜ 4.
∴m = - 1.
(2)-4 ＜ x ＜ - 1或1 ＜ x ＜ 4.
19. (12分)(2024·驻马店期中)第31届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉宝”系列产品深受人们喜爱.据某电商平台统计，某款蓉宝公仔自7月发售以来，其日销售量呈直线上升趋势；大运会期间热度增大，日销售量较前段时间增大；大运会结束后，日销售量与时间成反比例关系.日销售量$y$(万件)随时间$x$(天)变化的函数图像如图所示，大运会前为线段$OA$，大运会期间为线段$AB$，大运会后为曲线$BC$.
(1)求线段$AB$和反比例函数的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)已知日销售量不低于4万件时，为畅销期，请求出畅销期持续的天数.
(1)求线段$AB$和反比例函数的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)已知日销售量不低于4万件时，为畅销期，请求出畅销期持续的天数.
答案
(1)设线段AB的表达式为y = kx + b(k≠0)，把A(10,2)、B(22,6)代入，得$\begin{cases}10k + b = 2\\22k + b = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\b=-\frac{4}{3}\end{cases}$，∴线段AB的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$(10≤x≤22). 设反比例函数表达式为$y=\frac{k'}{x}$(k'≠0)，把B(22,6)代入，得$6=\frac{k'}{22}$，解得k' = 132，∴反比例函数表达式为$y=\frac{132}{x}$(x＞22).
(2)把y = 4代入$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，得$4=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，解得x = 16；把y = 4代入$y=\frac{132}{x}$，得$\frac{132}{x}=4$，解得x = 33. 由图像可知，当y≥4时，16≤x≤33，∴畅销期持续的天数是18天.
(2)把y = 4代入$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，得$4=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，解得x = 16；把y = 4代入$y=\frac{132}{x}$，得$\frac{132}{x}=4$，解得x = 33. 由图像可知，当y≥4时，16≤x≤33，∴畅销期持续的天数是18天.
20. 新考法(14分)(2024·苏州月考)如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？
代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.我们不妨来试试.
(1)填一填.
性质：反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像是中心对称图形，对称中心是原点.
证明：在函数$y=\frac{3}{x}$上任取一点$A(x,\frac{3}{x})$，则点$A$关于原点对称的点$B$坐标为(______，______).
∵ _______________，
∴点$B$也在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上.
∵点$A$是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上，
∴反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像是中心对称图形，对称中心是原点.
(2)性质：反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像关于直线$y = x$对称，关于直线$y = -x$对称.
请运用代数推理进行证明.
(3)证明：对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小.
代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.我们不妨来试试.
(1)填一填.
性质：反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像是中心对称图形，对称中心是原点.
证明：在函数$y=\frac{3}{x}$上任取一点$A(x,\frac{3}{x})$，则点$A$关于原点对称的点$B$坐标为(______，______).
∵ _______________，
∴点$B$也在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上.
∵点$A$是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上，
∴反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像是中心对称图形，对称中心是原点.
(2)性质：反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像关于直线$y = x$对称，关于直线$y = -x$对称.
请运用代数推理进行证明.
(3)证明：对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小.
答案
(1)(-x,-$\frac{3}{x}$) $y=\frac{3}{-x}=-\frac{3}{x}$
(2)在$y=\frac{3}{x}$上任取一点A(x,$\frac{3}{x}$)，则点A关于直线y = x对称的点B的坐标为($\frac{3}{x}$,x).∵$y=\frac{3}{x}=x$，∴点B也在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上.∵点A是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的任意一点，它关于直线y = x对称的点都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上，∴反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像关于直线y = x对称.
在$y=\frac{3}{x}$上任取一点A(x,$\frac{3}{x}$)，则点A关于直线y = - x对称的点C的坐标为(-$\frac{3}{x}$,-x).∵$y=\frac{3}{-\frac{3}{x}}=-x$，∴点C也在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上.∵点A是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的任意一点，它关于直线y = - x对称的点都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上，∴反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像关于直线y = - x对称.
(3)在$y=\frac{3}{x}$上任取两点A(x₁,$\frac{3}{x_{1}}$)、B(x₂,$\frac{3}{x_{2}}$)(0 ＜ x₁ ＜ x₂)，
∵$\frac{3}{x_{2}}-\frac{3}{x_{1}}=\frac{3(x_{1}-x_{2})}{x_{1}x_{2}}＜0$，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小.
(2)在$y=\frac{3}{x}$上任取一点A(x,$\frac{3}{x}$)，则点A关于直线y = x对称的点B的坐标为($\frac{3}{x}$,x).∵$y=\frac{3}{x}=x$，∴点B也在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上.∵点A是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的任意一点，它关于直线y = x对称的点都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上，∴反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像关于直线y = x对称.
在$y=\frac{3}{x}$上任取一点A(x,$\frac{3}{x}$)，则点A关于直线y = - x对称的点C的坐标为(-$\frac{3}{x}$,-x).∵$y=\frac{3}{-\frac{3}{x}}=-x$，∴点C也在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上.∵点A是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的任意一点，它关于直线y = - x对称的点都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像上，∴反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图像关于直线y = - x对称.
(3)在$y=\frac{3}{x}$上任取两点A(x₁,$\frac{3}{x_{1}}$)、B(x₂,$\frac{3}{x_{2}}$)(0 ＜ x₁ ＜ x₂)，
∵$\frac{3}{x_{2}}-\frac{3}{x_{1}}=\frac{3(x_{1}-x_{2})}{x_{1}x_{2}}＜0$，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小.
