10. (2024·陕西中考)已知点$A(-2,y_1)$和点$B(m,y_2)$均在反比例函数$y = -\frac{5}{x}$的图像上，若$0 ＜ m ＜ 1$，则$y_1 + y_2$______$0$(填“＜”“＞”或“=”).

＜

11. (2024·徐州模拟)在平面直角坐标系中，函数$y = x - 1$与$y=\frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图像交于点$P(a,b)$，则代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为______.

$-\frac{1}{4}$

12. (2023·南通中考)某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度$v$(单位：m/s)与所受阻力$F$(单位：N)是反比例函数关系，其图像如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30 m/s，则所受阻力$F$为______.

2 500 N

13. (2024·长春模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形$ABOC$的两边在坐标轴上，$OB = 1$，点$A$在函数$y = -\frac{2}{x}(x ＜ 0)$的图像上，将此矩形向右平移3个单位长度到$A_1B_1O_1C_1$的位置，此时点$A_1$在函数$y=\frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像上，$C_1O_1$与此图像交于点$P$，则点$P$的纵坐标是______.

$\frac{4}{3}$

14. (2024·南阳期末)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点$O$重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像与大正方形的一边交于点$A(1,2)$，且经过小正方形的顶点$B$，则图中阴影部分的面积为______.

8 解析：∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像经过A(1,2)，∴k = 1×2 = 2，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，∴设小正方形的顶点B(a,a)，∵B(a,a)在$y=\frac{2}{x}$的图像上，∴$a^{2}=2$，∴小正方形的面积为$S_{小}=4a^{2}=8$.∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A(1,2)，∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2,2)，∴大正方形的面积为$S_{大}=4×2^{2}=16$. 题图中阴影部分的面积为$S_{大}-S_{小}=16 - 8 = 8$.

15. (2024·成都期末)如图，已知点$A$、$C$在反比例函数$y=\frac{m}{x}(m ＞ 0)$的图像上，点$B$、$D$在反比例函数$y=\frac{n}{x}(n ＜ 0)$的图像上，$AB// CD// y$轴，$AB$、$CD$在$y$轴的两侧，$AB = 3$，$CD = 5$，若$AB$与$CD$的距离为7，则$m - n$的值是______.

$\frac{105}{8}$ 解析：∵AB//CD//y轴，AB = 3，∴$\frac{m}{x_{A}}-\frac{n}{x_{A}}=3$，整理得$x_{A}=\frac{m - n}{3}$.∵CD = 5，∴$\frac{n}{x_{D}}-\frac{m}{x_{D}}=5$，整理得$x_{D}=\frac{n - m}{5}$.∵AB与CD的距离为7，∴$\frac{m - n}{3}-\frac{n - m}{5}=7$，∴$\frac{m - n}{3}+\frac{m - n}{5}=7$，∴5(m - n)+3(m - n)=105，
∴$m - n=\frac{105}{8}$.

16. 新题型 新定义(2024·常州模拟)对于平面直角坐标系$xOy$内的点$P$和图形$M$，给出如下定义：如果点$P$绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到点$Q$，点$Q$落在图形$M$上或图形$M$围成的区域内，那么称点$P$是图形$M$关于原点$O$的“伴随点”.已知点$A(1,6)$、$B(5,5)$、$C(5,\frac{6}{5})$，如果$M$是双曲线$y=\frac{6}{x}$和线段$AB$、$BC$围成的封闭区域(含边界线)，点$P(a,3)$是$M$关于原点$O$的“伴随点”，则$a$的取值范围是____________.

$-\frac{11}{2}\leq a\leq - 2$ 解析：如图，设点A绕点O逆时针旋转90°得到点A'，过点A作AM⊥y轴，过点A'作A'N⊥x轴，垂足分别为M、N，则∠AMO = ∠A'NO = 90°. 由题意得OA = OA'，∠AOA' = 90°，
∴∠AOM+∠A'OM = ∠A'OM+∠A'ON = 90°，∴∠AOM = ∠A'ON，
∴△AOM≌△A'ON，∴OM = ON = 6，AM = A'N = 1，∴A'(-6,1)，同理，△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A'B'C'，则B'(-5,5)、C'(-$\frac{6}{5}$,5). 设直线A'B'的表达式为y = kx + b(k≠0)，代入A'(-6,1)、B'(-5,5)，得$\begin{cases}-6k + b = 1\\-5k + b = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 4\\b = 25\end{cases}$，∴直线A'B'的表达式为y = 4x + 25. 设经过点A'、C'的双曲线为$y=\frac{m}{x}$(m≠0)，代入A'(-6,1)得m = - 6，∴经过点A'、C'的双曲线为$y=-\frac{6}{x}$.∵M是双曲线$y=-\frac{6}{x}$和线段AB、BC围成的封闭区域（含边界线），点P(a,3)是M关于原点O的“伴随点”，∴把x = a，y = 3代入y = 4x + 25，得3 = 4a + 25，解得$a=-\frac{11}{2}$，把x = a，y = 3代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{a}$，解得a = - 2，∴a的取值范围是$-\frac{11}{2}\leq a\leq - 2$.

三、解答题(共44分)

17. (8分)(2024·常州中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = kx + b$的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像相交于点$A(-1,n)$、$B(2,1)$.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接$OA$、$OB$，求$\triangle OAB$的面积.

(1)∵一次函数y = kx + b的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像相交于点A(-1,n)、B(2,1)，∴m = 2×1 = - 1·n，∴m = 2，n = - 2，∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$，A(-1,-2). 将点A、B坐标代入y = kx + b，
∴$\begin{cases}-k + b = - 2\\2k + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = - 1\end{cases}$，∴一次函数的表达式为y = x - 1.
(2)如图，设直线AB与y轴交于点C，∵y = x - 1，∴当x = 0时，y = - 1，∴C(0,-1)，即OC = 1，∴△OAB的面积=$\frac{1}{2}OC\cdot|x_{B}-x_{A}|=\frac{1}{2}\times1\times(2 + 1)=\frac{3}{2}$.