典例1 问题提出：如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积(不写作法，保留作图痕迹)?
(1) 初步尝试：如图①，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
(2) 问题联想：如图②，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
(3) 问题再解：如图③，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.
　　

典例探究
典例1(1)如图①,直线OP即为所求.(2)如图②,△MNP即为所求.(3)如图③,$\overset{\frown}{DF}$即为所求.

典例2 如图，在▱ABCD中，∠ABC = 150°. 利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BF，使BE = BF；分别以点E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}$EF的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点G；作射线BG交CD于点H. 若AD = $\sqrt{3}+1$，则BH的长为________.
　　　　　　

典例2在□ABCD中,∠ABC = 150°,∴∠C = 30°,AB//CD,BC = AD = $\sqrt{3}+1$. 由作图知,BH平分∠ABC,∴∠CBH = ∠ABH. ∵AB//CD,∴∠CHB = ∠ABH. ∴∠CHB = ∠CBH. ∴CH = BC = $\sqrt{3}+1$. 如图,过点B作BP⊥CD于点P,则∠BPC = 90°. ∴易得BP = $\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,CP = $\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$. ∴HP = CH - CP = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. ∴BH = $\sqrt{BP^{2}+HP^{2}}=\sqrt{2}$.

典例3 (2024·扬州二模) 如图，已知锐角∠AOB.
(1) 在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作$\overset{\frown}{PQ}$，交射线OB于点D，连接CD；
(2) 分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交$\overset{\frown}{PQ}$于点M，N；
(3) 连接OM，MN.
根据以上作图过程及所作图形，有下列结论：
① ∠COM = ∠COD；② 若OM = MN，则∠AOB = 30°；③ MN//CD；④ MN = 3CD. 其中，正确的是________(填序号).
　　　　　　

典例3如图,连接ON,DM,CM,DN. ∵CM = CD,∴$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}$. ∴∠COM = ∠COD. 故①正确. 若OM = MN,又∵OM = ON,∴OM = ON = MN. ∴△MON是等边三角形. ∴∠MON = 60°. ∵CM = CD = DN,∴$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$. ∴∠AOB = $\frac{1}{3}∠MON = 20°$. 故②错误. ∵$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{DN}$,∴∠CDM = ∠DMN. ∴MN//CD. 故③正确. ∵CM = CD = DN,CM + CD + DN＞MN,∴MN＜3CD. 故④错误. 综上所述,正确的是①③.