登录
典例4 (2024·宿迁宿城模拟) 如图①②所示为由相同小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，要求仅利用已有的格点和无刻度直尺作图(注意：不能用圆规).
(1) 如图①，已知网格中有一个▱ABCD，顶点A，B，C，D都在格点上，找出格点P(1个即可)，使BP平分∠ABC.
(2) △ABC及其外接圆如图②所示，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上. 在AB上方的圆弧上画点P，使得BP = BC.
(1) 如图①，已知网格中有一个▱ABCD，顶点A，B，C，D都在格点上，找出格点P(1个即可)，使BP平分∠ABC.
(2) △ABC及其外接圆如图②所示，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上. 在AB上方的圆弧上画点P，使得BP = BC.
答案
典例4(1)答案不唯一,如图①,点P即为所求.(2)如图②,点P即为所求.
典例5 (2024·扬州) 如图，已知∠PAQ及边AP上一点C.
(1) 用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ = 2∠CAQ(保留作图痕迹，不写作法)；
(2) 在(1)的条件下，以点O为圆心，OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(3) 在(1)(2)的条件下，若sin A = $\frac{3}{5}$，CM = 12，求BM的长.
(1) 用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ = 2∠CAQ(保留作图痕迹，不写作法)；
(2) 在(1)的条件下，以点O为圆心，OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(3) 在(1)(2)的条件下，若sin A = $\frac{3}{5}$，CM = 12，求BM的长.
答案
典例5(1)如图,点O即为所求.(2)如图,点B,M即为所求.(3)由作图可知,OA = OC = OB,∴易得∠ACB = 90°. ∴BC⊥AP. 在Rt△ACB中,∵sin A = $\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$,∴设BC = 3k,则AB = 5k. ∴AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = 4k$. 如图,过点M作MH⊥AQ于点H. ∵BM平分∠CBQ,MC⊥BC,∴∠MBH = ∠MBC,∠BHM = ∠BCM = 90°. ∵BM = BM,∴△MBH≌△MBC. ∴BH = BC = 3k,MH = MC = 12. ∴AH = AB + BH = 8k. 在Rt△MHA中,∵sin A = $\frac{MH}{AM}=\frac{3}{5}$,∴易得AM = 10k,MH = MC = 6k. ∴12 = 6k,解得k = 2. ∴BH = 6. ∴BM = $\sqrt{BH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{6^{2}+12^{2}} = 6\sqrt{5}$.
