1.（2023·常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
|画法|图形|
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|（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC，CD，DE，连接BE；
（3）过点C，D分别画BE的平行线，交线段AB于点M，N.M，N就是线段AB的三等分点| |

这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D

2. 已知△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A. 54
B. 36
C. 27
D. 21

C

3.（2024·徐州睢宁模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，则图中一定相似的三角形是（ ）

A. △BOA∽△BAD
B. △BOA∽△COD
C. △BOC∽△BCD
D. △COB∽△CBA

B

4.（2023·镇江）如图，用一个卡钳（$AD = BC$，$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长度为6cm，则AB的长度为______cm.

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5.（2023·苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 2\sqrt{5}$，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，过点B作BE⊥CD，垂足为E.
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若$AF = 2$，求DE的长.

(1) ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB = 90°. ∵ BE⊥CD，∴ ∠DEB = 90°. ∴ ∠DEB = ∠ACB. ∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，∴ ∠BDE = ∠BAC. ∴ △DBE∽△ABC
(2) 过点 C 作 CG⊥AB，垂足为 G. ∵ ∠ACB = 90°，AC = $\sqrt{5}$，BC = 2$\sqrt{5}$，∴ AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}} = 5$. ∵ CG⊥AB，∴ $S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CG$，即 $\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times2\sqrt{5}=\frac{1}{2}\times5CG$. ∴ CG = 2. ∴ AG = $\sqrt{AC^{2}-CG^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}} = 1$. ∵ AF = 2，∴ FG = AF - AG = 2 - 1 = 1. ∴ FG = AG. ∴ 易得 AC = FC. ∴ ∠CAF = ∠CFA = ∠BFD = ∠BDF. ∴ DB = BF = AB - AF = 5 - 2 = 3. 由 (1) 知，△DBE∽△ABC，∴ $\frac{DB}{AB}=\frac{DE}{AC}$，即 $\frac{3}{5}=\frac{DE}{\sqrt{5}}$. ∴ DE = $\frac{3\sqrt{5}}{5}$