【变式】(2024·宿迁沭阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，点P在边BC上（不与点B，C重合），过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与原三角形ABC相似，当截得新三角形与原三角形ABC相似的个数仅为3时，PC长的取值范围是_______.
　　　　　　　　
B
　　　　　　　　　　　　
A
　　　　　　　　　

如图，过点A作$\angle CAP = \angle B$，则$\triangle PCA \backsim \triangle ACB$，$\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{AC}{BC}$。$\because AC = 3$，$BC = 4$，$\therefore \frac{PC}{3}=\frac{3}{4}$，解得$PC=\frac{9}{4}$。$\therefore$当截得新三角形与原三角形ABC相似的个数仅为3时，$\frac{9}{4}＜PC＜4$。

典例3(2024·南京秦淮二模)已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1∶2. 若BC = 1，则对应边EF的长是（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. 3
D. 4

A.

典例4(2024·苏州高新区一模)如图,在Rt△ABC中,∠A = 90°，AC = 6，AB = 8，M，N分别为AB，AC上的一个动点，以直线MN为对称轴将△AMN折叠得到△DMN，点A的对应点为D. 若点D落在BC上，且△AMN∽△ACB，则CD的长为______________.
　　　　　　　

$\because \angle A = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$AB = 8$，$\therefore BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。如图，连接AD。$\because \triangle AMN \backsim \triangle ACB$，$\therefore \angle AMN = \angle C$。易知$AD \perp MN$，$\therefore \angle DAM = 90^{\circ}-\angle AMN = 90^{\circ}-\angle C = \angle B$。$\therefore DA = DB$。同理，可得$DC = DA$。$\therefore CD=\frac{1}{2}BC = 5$。

典例5(2023·无锡)如图,在□ABCD中,E，F分别为BC，CD的中点,AF与DE相交于点G，则DG∶EG = __________.
　　　　　　　　　　　　　

如图，延长AF，BC交于点H。$\because$四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为BC，CD的中点，$\therefore CB = AD$，$CB // AD$，$BE = CE$，$CF = DF$。$\therefore CB = AD = 2CE$。$\because HC // AD$，$\therefore \triangle HCF \backsim \triangle ADF$。$\therefore \frac{HC}{AD}=\frac{CF}{DF}=1$。$\therefore HC = AD = CB = 2CE$。$\therefore HE = HC + CE = 2CE + CE = 3CE$。$\because AD // HE$，$\therefore \triangle ADG \backsim \triangle HEG$。$\therefore \frac{DG}{EG}=\frac{AD}{HE}=\frac{2CE}{3CE}=\frac{2}{3}$。$\therefore DG:EG = 2:3$。

典例6(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法. 如图,燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′. 若AB = 36 cm，A′B′ = 24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为________ cm.
　　　　　　　

设小孔O到A'B'的距离为x cm。由题意，得$\triangle A'B'O \backsim \triangle ABO$，则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{24}{36}=\frac{x}{30}$，解得$x = 20$。

典例7(2024·盐城)如图,点C在以AB为直径的⊙O上,过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC = 5，CD = 4，求⊙O的半径.
　　　　　　　　　　　　　　

(1) 如图，连接OC。$\because l$是$\odot O$的切线，$\therefore OC \perp l$。$\because AD \perp l$，$\therefore OC // AD$。$\therefore \angle CAD = \angle ACO$。$\because OA = OC$，$\therefore \angle BAC = \angle ACO$。$\therefore \angle BAC = \angle CAD$。$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$。$\because AD \perp l$，垂足为D，$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$。$\therefore \angle ACB = \angle D$。$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle ACD$。(2) $\because AC = 5$，$CD = 4$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。由(1)知，$\triangle ABC \backsim \triangle ACD$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AB}{5}=\frac{5}{3}$。$\therefore AB=\frac{25}{3}$。$\therefore \odot O$的半径为$\frac{25}{6}$。