1. (2023·德阳中考)如图, $\square ABCD$ 的面积为 12, $AC = BD = 6$, $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$, 分别过点 $C$、$D$ 作 $BD$、$AC$ 的平行线相交于点 $F$, 点 $G$ 是 $CD$ 的中点, 点 $P$ 是四边形 $OCFD$ 边上的动点, 则 $PG$ 的最小值是 ()
A. 1
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 3
![img alt=第1题]

2. (2022·东营中考)如图,已知菱形 $ABCD$ 的边长为 2, 对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$, 点 $M$、$N$ 分别是边 $BC$、$CD$ 上的动点, $\angle BAC = \angle MAN = 60^{\circ}$, 连接 $MN$、$OM$. 以下四个结论正确的是 ()
① $\triangle AMN$ 是等边三角形;
② $MN$ 的最小值是 $\sqrt{3}$;
③ 当 $MN$ 最小时, $S_{\triangle CMN} = \frac{1}{8}S_{菱形ABCD}$;
④ 当 $OM \perp BC$ 时, $OA^2 = DN \cdot AB$.
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
![img alt=第2题]

3. (2022·宿迁中考节选)如图, 二次函数 $y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $O(0,0)$、$A(4,0)$ 两点, 顶点为 $C$, 连接 $OC$、$AC$, 若点 $B$ 是线段 $OA$ 上一动点, 连接 $BC$, 将 $\triangle ABC$ 沿 $BC$ 折叠后, 点 $A$ 落在点 $A'$ 的位置, 线段 $A'C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$, 且点 $D$ 与 $O$、$A$ 点不重合.
(1) 求二次函数的表达式.
(2) ① 求证: $\triangle OCD \backsim \triangle A'BD$;
② 求 $\frac{DB}{BA}$ 的最小值.
![img alt=第3题]
![img alt=备用图]

4. (2023·泰安中考)如图, 在平面直角坐标系中, $Rt\triangle AOB$ 的一条直角边 $OB$ 在 $x$ 轴上, 点 $A$ 的坐标为 $(-6,4)$; $Rt\triangle COD$ 中, $\angle COD = 90^{\circ}$, $OD = 4\sqrt{3}$, $\angle D = 30^{\circ}$, 连接 $BC$, 点 $M$ 是 $BC$ 中点, 连接 $AM$. 将 $Rt\triangle COD$ 以点 $O$ 为旋转中心按顺时针方向旋转, 在旋转过程中, 线段 $AM$ 的最小值是 ()
A. 3
B. $6\sqrt{2} - 4$
C. $2\sqrt{13} - 2$
D. 2
![img alt=第4题]