5. (2023·盘锦中考)如图, 四边形 $ABCD$ 是矩形, $AB = \sqrt{10}$, $AD = 4\sqrt{2}$, 点 $P$ 是边 $AD$ 上一点 (不与点 $A$、$D$ 重合), 连接 $PB$、$PC$, 点 $M$、$N$ 分别是 $PB$、$PC$ 的中点, 连接 $MN$、$AM$、$DN$, 点 $E$ 在边 $AD$ 上, $ME // DN$, 则 $AM + ME$ 的最小值是 ()
A. $2\sqrt{3}$
B. 3
C. $3\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{2}$
![img alt=第5题]
![img alt=第6题]

6. (2023·南通中考)如图, 四边形 $ABCD$ 的两条对角线 $AC$、$BD$ 互相垂直, $AC = 4$, $BD = 6$, 则 $AD + BC$ 的最小值是 ______.

7. (徐州中考)在 $\triangle ABC$ 中, 若 $AB = 6$, $\angle ACB = 45^{\circ}$. 则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 ______.

8. (2022·泸州中考)如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = 6$, $BC = 2\sqrt{3}$, 半径为 1 的 $\odot O$ 在 $Rt\triangle ABC$ 内平移 ($\odot O$ 可以与该三角形的边相切), 则点 $A$ 到 $\odot O$ 上的点的距离的最大值为 ______.
![img alt=第8题]
![img alt=第9题]

9. (2023·无锡中考)如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AD // BC$, $\angle DAB = 30^{\circ}$, $\angle ADC = 60^{\circ}$, $BC = CD = 2$, 若线段 $MN$ 在边 $AD$ 上运动, 且 $MN = 1$, 则 $BM^2 + 2BN^2$ 的最小值是 ()

A. $\frac{13}{2}$
B. $\frac{29}{3}$
C. $\frac{29}{4}$
D. 10

10. (2023·徐州中考)【阅读理解】如图①, 在矩形 $ABCD$ 中, 若 $AB = a$, $BC = b$, 由勾股定理, 得 $AC^2 = a^2 + b^2$, 同理 $BD^2 = a^2 + b^2$, 故 $AC^2 + BD^2 = 2(a^2 + b^2)$.
【探究发现】如图②, 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, 若 $AB = a$, $BC = b$, 则上述结论是否依然成立? 请加以判断, 并说明理由.
【拓展提升】如图③, 已知 $BO$ 为 $\triangle ABC$ 的一条中线, $AB = a$, $BC = b$, $AC = c$.
求证: $BO^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{c^2}{4}$.
【尝试应用】如图④, 在矩形 $ABCD$ 中, 若 $AB = 8$, $BC = 12$, 点 $P$ 在边 $AD$ 上, 则 $PB^2 + PC^2$ 的最小值为 ______.
![img alt=第10题]