11. 一组按规律排列的代数式：$ -\frac{2}{a} $,$ \frac{5}{2a^3} $,$ -\frac{8}{3a^5} $,$ \frac{11}{4a^7} $,…,第 $ n $ 个代数式是($ n $ 为正整数)( )

A.$ (-1)^{n + 1}\frac{3n - 1}{na^{2n - 1}} $
B.$ (-1)^n\frac{3n - 1}{(n + 1)a^{2n - 1}} $
C.$ (-1)^n\frac{2n + 1}{na^{2n - 1}} $
D.$ (-1)^n\frac{3n - 1}{na^{2n - 1}} $

D

观察符号：第1个为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，规律为$(-1)^n$；
观察分子：$2=3×1 - 1$，$5=3×2 - 1$，$8=3×3 - 1$，$11=3×4 - 1$，规律为$3n - 1$；
观察分母中字母前的数字：$1$，$2$，$3$，$4$，规律为$n$；
观察分母中$a$的指数：$1=2×1 - 1$，$3=2×2 - 1$，$5=2×3 - 1$，$7=2×4 - 1$，规律为$2n - 1$；
综上，第$n$个代数式是$(-1)^n\frac{3n - 1}{na^{2n - 1}}$。
D

12. 新趋势 跨学科综合 “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”,比如在化学中,甲烷的化学式是 $ CH_4 $,乙烷的化学式是 $ C_2H_6 $,丙烷的化学式是 $ C_3H_8 $,丁烷的化学式是 $ C_4H_{10} $,…,设碳原子的数目为 $ n $($ n $ 为正整数),则它们的化学式都可用式子______来表示.

$C_{n}H_{2n+2}$【点拨】设氢原子的数目为$a_{n}$,观察,发现规律:$a_{1}=4=2×1+2,a_{2}=6=2×2+2,a_{3}=8=2×3+2,...$,所以$a_{n}=2n+2$.所以碳原子的数目为n(n为正整数)时,它的化学式为$C_{n}H_{2n+2}.$

设氢原子的数目为$a_{n}$，观察可得：$a_{1}=4=2×1 + 2$，$a_{2}=6=2×2 + 2$，$a_{3}=8=2×3 + 2$，$a_{4}=10=2×4 + 2$，...，则$a_{n}=2n + 2$。所以当碳原子的数目为$n$（$n$为正整数）时，化学式为$C_{n}H_{2n+2}$。
$C_{n}H_{2n+2}$

13. 新考向 数学文化 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗,卒自携一斗,人食日二升. 其大意为：在行军过程中,每个民夫可以背负六斗(60 升)米,每个士兵可以自己背一斗(10 升)米,无论民夫还是士兵每人一天行军会消耗 1 升米. 若每个士兵雇佣 $ n $ 个民夫随其一行行军,则在没有其他粮食补充的情况下,背负的米支持行军的天数为______天(用含有 $ n $ 的代数式表示).

$\frac {60n+10}{n+1}$【点拨】因为每个士兵雇佣n个民夫随其一同行军,所以士兵和民夫共携带了$(60n+10)$升米.因为民夫和士兵每人每天消耗1升米,所以共消耗$(n+1)$升米,所以在没有其他粮食补充的情况下,背负的米支持行军的天数为$\frac {60n+10}{n+1}$天.

$\frac{60n + 10}{n + 1}$

14. 新视角 规律探究题 用一样长的小木棒按如图所示的方式搭图形.

(1)按图示规律填下表：
|图形标号|①|②|③|…|
|小木棒根数|9| | |…|
(2)若按照这种方式搭下去,则搭第 $ n $ 个图形需要多少根小木棒？

(1)16:23
(2)易知第1个图形需要的小木棒的根数为$7×1+2=9,$
第2个图形需要的小木棒的根数为$7×2+2=16,$
第3个图形需要的小木棒的根数为$7×3+2=23,... ,$
则第n个图形需要的小木棒的根数为$7n+2.$

15. 情境题 生活应用 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段以达到节水的目的,该市自来水收费价格价目表,如下表.
|每月用水量|不超过 $ 6 $ m^3 的部分|超出 $ 6 $ m^3 但不超出 $ 10 $ m^3 的部分|超出 $ 10 $ m^3 的部分|注：水费按月结算|
|单价|2 元/m^3|4 元/m^3|8 元/m^3| |
(1)填空：若某户居民 2 月份用水量为 $ 4 $ m^3,则 2 月份应交水费______元；
(2)若该户居民 4 月份用水量为 $ a $ m^3($ a $ 在 6 至 $ 10 $ m^3 之间),则水费包含两部分,一部分用水量为 $ 6 $ m^3,水费 12 元；另外一部分用水量为______m^3,此部分水费为______元；则 4 月份共交水费______元.(用含 $ a $ 的整式表示并化简)
(3)若该户居民 5 月份用水 $ x $ m^3 $ (x ＞ 10) $,求该户居民 5 月份共交水费多少元？(用含 $ x $ 的整式表示并化简)

(1)8
(2)$(a-6),(4a-24),(4a-12)$
(3)$2×6+(10-6)×4+(x-10)×8=12+16+8x-80=(8x-52)$(元).
答:该户居民5月份共交水费$(8x-52)$元.