1 小普要从 16 个同种型号的零件中找出仅有的一个质量较轻的次品，小渔要从 26 个同种型号的零件中找出仅有的一个质量较轻的次品。下列说法中，正确的是()(填序号)。
①小普用的次数一定比小渔少；
②小普分的份数要比小渔少；
③小普和小渔都可以称 3 次找到次品。

对于16个零件，采用三分法，最多称3次可找到次品。
对于26个零件，采用三分法，最多称3次可找到次品。
判断：
①错误；
②错误；
③正确。
答：正确的是③。

【分析】
要解决本题，需掌握找次品的最优策略——三分法（将物品尽量平均分成三份，每次称量可排除三分之二的正品，快速缩小次品范围）。我们通过分别分析16个、26个零件用三分法找次品的过程，再逐一判断三个说法：
1. 分析16个零件：将16分成5、5、6。第一次称5和5，若平衡，次品在6个中；若不平衡，次品在轻的5个中。后续通过第二次、第三次称量，最多3次就能确定次品。
2. 分析26个零件：将26分成9、9、8。第一次称9和9，若平衡，次品在8个中；若不平衡，次品在轻的9个中。后续通过第二次、第三次称量，最多3次也能确定次品。
3. 判断三个说法：
①“小普用的次数一定比小渔少”：两者都可通过最优方法3次找到次品，若小普方法不当，次数可能更多，“一定”表述错误；
②“小普分的份数要比小渔少”：分法不唯一，比如小普可分4份，小渔可分3份，份数不一定小普更少，错误；
③“小普和小渔都可以称3次找到次品”：由上述分析，两者用最优三分法最多3次都能找到次品，正确。
【解析】
1. 16个零件找次品（三分法）：
第一次：把16个零件分成5、5、6三组，称量5和5。若平衡，次品在6个组中；若不平衡，次品在轻的5个组中。
第二次：若次品在6个组中，分成2、2、2三组，称量其中两组，确定次品在某2个中；若次品在5个组中，分成2、2、1三组，称量2和2，平衡则剩下的1个是次品，不平衡则次品在轻的2个中。
第三次：称量包含次品的2个零件，轻的即为次品。因此16个零件最多3次可找到次品。
2. 26个零件找次品（三分法）：
第一次：把26个零件分成9、9、8三组，称量9和9。若平衡，次品在8个组中；若不平衡，次品在轻的9个组中。
第二次：若次品在8个组中，分成3、3、2三组，称量3和3，确定次品在某3个或2个中；若次品在9个组中，分成3、3、3三组，称量其中两组，确定次品在某3个中。
第三次：称量包含次品的2个或3个零件（3个则称其中2个），轻的即为次品。因此26个零件最多3次可找到次品。
3. 选项判断：
①：小普用的次数不一定比小渔少，错误；
②：分法不唯一，小普分的份数不一定比小渔少，错误；
③：小普和小渔都可以称3次找到次品，正确。
【答案】
③
【知识点】
找次品的最优策略（三分法）
【点评】
本题考查找次品的最优方法，核心是理解三分法通过合理分组快速缩小次品范围的原理。解题时要避免“零件数量多则称量次数一定多”的误区，同时谨慎判断带有“一定”等绝对表述的选项。
【难度系数】
0.5

2 熊妈妈去商店买了 11 筐相同质量的玉米，嘴馋的熊宝宝偷吃了某一筐中的 4 个玉米。
(1)填一填。

(2)用你的方法，至少称几次可以保证找出被偷吃的那筐？
(3)如果天平两边各放 5 筐，那么称一次有可能找出被偷吃的那筐吗？

(1)
平衡，称⑨⑩
→平衡，（⑪）的为被偷吃的那筐。
→不平衡，（轻）的为被偷吃的那筐。
不平衡，称轻的一边4个中的2个。
→平衡，称4个中余下的2个，（轻）的为被偷吃的那筐。
→不平衡，（轻）的为被偷吃的那筐。
(2)
答：至少称3次可以保证找出被偷吃的那筐。
(3)
答：称一次有可能找出被偷吃的那筐。

【分析】
这是一道找次品的问题，核心思路是利用“被偷吃的玉米筐质量更轻”这一特点，借助天平平衡原理，通过分组称重逐步缩小范围，最终确定目标筐。
1. 首先将11筐玉米分成3组（4筐、4筐、3筐），先称前两组：
若天平平衡，说明被偷吃的筐在剩下的3筐（⑨、⑩、⑪）中，再称其中两筐，平衡则剩下的那筐是目标，不平衡则轻的是目标；
若天平不平衡，说明被偷吃的筐在轻的那4筐中，再将这4筐分组称重，通过多次对比轻的一侧，最终找到目标筐。
2. 对于“至少称几次保证找到”，要考虑最坏情况，即每次称重都需要继续缩小范围，直到最后一步才能确定；
3. 对于“两边各放5筐称一次能否找到”，要考虑天平平衡的特殊情况，此时剩下的1筐就是目标。
【解析】
(1) 因为被偷吃的玉米筐质量更轻，所以：
当第一次称①②③④和⑤⑥⑦⑧平衡时，称⑨和⑩：
平衡说明⑨⑩都没被偷吃，所以⑪是被偷吃的那筐；
不平衡则质量更轻的那筐是被偷吃的，即轻的为被偷吃的那筐。
当第一次称①②③④和⑤⑥⑦⑧不平衡时，目标在轻的4筐中，称轻的一边4个中的2个：
平衡说明这2筐都没被偷吃，再称余下的2个，还是轻的为被偷吃的那筐；
不平衡则直接能确定轻的为被偷吃的那筐。
(2) 要保证找到被偷吃的那筐，需考虑最坏情况：第一次称4筐和4筐不平衡，然后称轻的4筐中的2筐平衡，再称余下的2筐，总共3次，所以至少称3次可以保证找出。
(3) 当天平两边各放5筐时，如果天平恰好平衡，那么剩下的1筐就是被偷吃的，所以称一次有可能找出被偷吃的那筐。
【答案】
(1) ⑪；轻；轻；轻
(2) 至少称3次可以保证找出被偷吃的那筐。
(3) 称一次有可能找出被偷吃的那筐。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理、逻辑推理
【点评】
本题是找次品的经典题型，重点考查对天平平衡原理的应用，以及“保证找到”和“有可能找到”的概念区分。解题时需理清分组逻辑，既要考虑常规情况，也要考虑最坏情况和特殊情况，培养逻辑推理和严谨思考的能力。
【难度系数】
0.6

3 逻辑推理 有 6 个零件，其中一个是次品（不知比合格品轻还是重），用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量轻些还是重些？为什么？

由天平1：$1+2=3+4$，得1、2、3、4为合格品，次品在5、6中。
由天平3：$4＞5$，得5比合格品轻。
由天平2：$5＞6$，得6比合格品轻。
答：6号零件是次品，次品的质量轻些。

【分析】
我们可以通过每次天平的称量结果逐步推理：首先观察第一次天平，1+2和3+4平衡，说明这四个零件质量相同，都是合格品，次品锁定在5、6中；接着看第三次天平，已知4是合格品，4比5重，能得出5比合格品轻；再结合第二次天平5比6重的结果，就能推出6比合格品更轻，从而确定次品。
【解析】
1. 由第一次天平称量结果$1+2=3+4$，可推出1、2、3、4均为合格品，次品在5和6中。
2. 由第三次天平称量结果$4＞5$，因为4是合格品，所以可知5的质量比合格品轻。
3. 由第二次天平称量结果$5＞6$，结合上一步结论，可得6的质量比5还轻，即6的质量比合格品轻，因此6号是次品，且次品质量轻些。
【答案】
6号零件是次品，次品的质量轻些。因为由$1+2=3+4$可知1、2、3、4是合格品，次品在5、6中；由$4＞5$可知5比合格品轻，再由$5＞6$可知6比5还轻，所以6是次品且质量轻些。
【知识点】
逻辑推理，天平称重判断
【点评】
本题借助天平的平衡与失衡信息，逐步缩小次品范围，以合格品为参照对比得出次品的编号和轻重，考验学生的逻辑推导能力，需要准确提取每次称量的有效信息。
【难度系数】
0.6