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1 一堆零件中有一个是次品(较轻),用没有砝码的天平至少称3次就能保证找出这个次品。这堆零件至少有()个,至多有()个。
答案
3×3 + 1 = 10（个）
3×3×3 = 27（个）
答：这堆零件至少有10个，至多有27个。
3×3×3 = 27（个）
答：这堆零件至少有10个，至多有27个。
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握找次品的核心策略——三分法：每次将物品分成数量尽量相等的三份，通过天平称重判断次品所在的份数，逐步缩小范围。
1. 明确“至少称3次才能保证找出次品”的含义：零件数量不能少到用2次就能找出，同时最多到用3次刚好能找出的最大数量。
2. 称1次最多能从3个零件中找出次品；称2次最多能从$3×3=9$个零件中找出次品。若零件数为9个及以下，2次就能保证找出次品，因此要保证至少称3次，最少数量为$9+1=10$个。
3. 称3次时，每次用三分法逐步缩小范围：第一次分三份每份9个，称后确定次品在9个中；第二次分三份每份3个，称后确定在3个中；第三次称即可找出次品，因此最多数量为$3×3×3=27$个。
【解析】
1. 计算最少数量：
称2次最多可找出次品的零件数为$3×3=9$个，要保证至少称3次才能找出次品，最少零件数为：
$3×3 + 1 = 10$（个）
2. 计算最多数量：
利用三分法，称3次最多能处理的零件数为三次3相乘：
$3×3×3 = 27$（个）
【答案】
10；27
【知识点】
找次品的三分法规律
【点评】
本题考查找次品问题的最优策略，要求学生理解每次称重后次品范围的缩小逻辑，掌握称n次时零件数量的范围计算方法，侧重逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需掌握找次品的核心策略——三分法：每次将物品分成数量尽量相等的三份，通过天平称重判断次品所在的份数，逐步缩小范围。
1. 明确“至少称3次才能保证找出次品”的含义：零件数量不能少到用2次就能找出，同时最多到用3次刚好能找出的最大数量。
2. 称1次最多能从3个零件中找出次品；称2次最多能从$3×3=9$个零件中找出次品。若零件数为9个及以下，2次就能保证找出次品，因此要保证至少称3次，最少数量为$9+1=10$个。
3. 称3次时，每次用三分法逐步缩小范围：第一次分三份每份9个，称后确定次品在9个中；第二次分三份每份3个，称后确定在3个中；第三次称即可找出次品，因此最多数量为$3×3×3=27$个。
【解析】
1. 计算最少数量：
称2次最多可找出次品的零件数为$3×3=9$个，要保证至少称3次才能找出次品，最少零件数为：
$3×3 + 1 = 10$（个）
2. 计算最多数量：
利用三分法，称3次最多能处理的零件数为三次3相乘：
$3×3×3 = 27$（个）
【答案】
10；27
【知识点】
找次品的三分法规律
【点评】
本题考查找次品问题的最优策略，要求学生理解每次称重后次品范围的缩小逻辑，掌握称n次时零件数量的范围计算方法，侧重逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.4
2 如下图,□里的数表示相同物体的个数,每组只有一个是次品(次品比正品轻一些),利用天平怎样分才能保证用最少的次数找出次品? (在○里填一填)
答案
$\boldsymbol{14}$：$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{4}$
$\boldsymbol{19}$：$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{7}$
$\boldsymbol{27}$：$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$
答：将14个物品分成5、5、4；19个分成6、6、7；27个分成9、9、9，能保证用最少的次数找出次品。
$\boldsymbol{19}$：$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{7}$
$\boldsymbol{27}$：$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$
答：将14个物品分成5、5、4；19个分成6、6、7；27个分成9、9、9，能保证用最少的次数找出次品。
解析
【分析】
解决找次品问题的核心思路是利用天平的平衡特性，采用最优分组策略——将待测物品尽量平均分成3份。因为天平称量后会出现平衡或不平衡两种情况，分成3份后，无论哪种情况，都能将次品锁定在其中1份中，最大程度缩小次品所在的范围，从而保证用最少的次数找到次品。具体到每个数量：
1. 对于14个物品，14不能被3整除，要分成最接近平均的3份，14÷3≈4.67，所以分成5、5、4，这样两组数量相近，称量后能快速缩小次品范围；
2. 对于19个物品，19÷3≈6.33，分成6、6、7，让两组数量相同，余下的1个加到第三组，保证分组尽可能平均；
3. 对于27个物品，27能被3整除，直接分成9、9、9，完全平均分，每次称量都能排除三分之二的正品，最快锁定次品。
【解析】
1. 处理14个物品：
将14个物品分成5、5、4三组。把两组5个的物品分别放在天平两端：
若天平平衡，说明次品在剩下的4个物品中；
若天平不平衡，次品在较轻的那5个物品中。后续再对次品所在组继续采用最优分组策略称量，能保证最少次数找到次品。
2. 处理19个物品：
将19个物品分成6、6、7三组。把两组6个的物品分别放在天平两端：
若天平平衡，次品在剩下的7个物品中；
若天平不平衡，次品在较轻的那6个物品中。后续继续对次品所在组分组称量，保证最少次数找到次品。
3. 处理27个物品：
将27个物品分成9、9、9三组。把任意两组9个的物品放在天平两端：
若天平平衡，次品在剩下的9个物品中；
若天平不平衡，次品在较轻的那9个物品中。后续继续将9个物品分成3、3、3，再分成1、1、1，能最快找到次品。
【答案】
14：$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{4}$
19：$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{7}$
27：$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$
答：将14个物品分成5、5、4；19个分成6、6、7；27个分成9、9、9，能保证用最少的次数找出次品。
【知识点】
找次品最优策略、分组称量法、平均分找次品
【点评】
本题聚焦找次品问题的核心解法，重点考查学生对“尽量平均分成3份”这一最优策略的理解与应用。通过不同数量的物品分组练习，帮助学生掌握天平称量找次品的逻辑，学会根据物品数量灵活调整分组，最大程度缩小次品范围，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解决找次品问题的核心思路是利用天平的平衡特性，采用最优分组策略——将待测物品尽量平均分成3份。因为天平称量后会出现平衡或不平衡两种情况，分成3份后，无论哪种情况，都能将次品锁定在其中1份中，最大程度缩小次品所在的范围，从而保证用最少的次数找到次品。具体到每个数量：
1. 对于14个物品，14不能被3整除，要分成最接近平均的3份，14÷3≈4.67，所以分成5、5、4，这样两组数量相近，称量后能快速缩小次品范围；
2. 对于19个物品，19÷3≈6.33，分成6、6、7，让两组数量相同，余下的1个加到第三组，保证分组尽可能平均；
3. 对于27个物品，27能被3整除，直接分成9、9、9，完全平均分，每次称量都能排除三分之二的正品，最快锁定次品。
【解析】
1. 处理14个物品：
将14个物品分成5、5、4三组。把两组5个的物品分别放在天平两端：
若天平平衡，说明次品在剩下的4个物品中；
若天平不平衡，次品在较轻的那5个物品中。后续再对次品所在组继续采用最优分组策略称量，能保证最少次数找到次品。
2. 处理19个物品：
将19个物品分成6、6、7三组。把两组6个的物品分别放在天平两端：
若天平平衡，次品在剩下的7个物品中；
若天平不平衡，次品在较轻的那6个物品中。后续继续对次品所在组分组称量，保证最少次数找到次品。
3. 处理27个物品：
将27个物品分成9、9、9三组。把任意两组9个的物品放在天平两端：
若天平平衡，次品在剩下的9个物品中；
若天平不平衡，次品在较轻的那9个物品中。后续继续将9个物品分成3、3、3，再分成1、1、1，能最快找到次品。
【答案】
14：$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{4}$
19：$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{7}$
27：$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{9}$
答：将14个物品分成5、5、4；19个分成6、6、7；27个分成9、9、9，能保证用最少的次数找出次品。
【知识点】
找次品最优策略、分组称量法、平均分找次品
【点评】
本题聚焦找次品问题的核心解法，重点考查学生对“尽量平均分成3份”这一最优策略的理解与应用。通过不同数量的物品分组练习，帮助学生掌握天平称量找次品的逻辑，学会根据物品数量灵活调整分组，最大程度缩小次品范围，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
3 嘉兴粽子是浙江嘉兴特色传统名点,某点心店包了13个板栗肉粽,发现其中有1个粽子没有放板栗,比其他粽子轻一些(看作次品)。如果用天平称,至少要称()次才能保证找到这个轻一些的粽子。请你帮忙填一填。
答案
把13个粽子分成（3）份，天平两边各放（4）个。
平衡：
把剩下的5个粽子分成（3）份，天平两边各放（2）个。
平衡→剩下的一定是（次品）
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
不平衡：
把较轻的4个粽子分成（2）份，天平两边各放（2）个。
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
答：至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。
平衡：
把剩下的5个粽子分成（3）份，天平两边各放（2）个。
平衡→剩下的一定是（次品）
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
不平衡：
把较轻的4个粽子分成（2）份，天平两边各放（2）个。
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
答：至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。
解析
【分析】
这是一道找次品的问题，解题核心是利用天平的平衡原理，通过合理分组来逐步缩小次品所在的范围。最优策略是将物品分成3份，尽量平均分，这样每次称量后能排除最多的正常物品，最快锁定次品位置。我们先把13个粽子分成数量尽量接近的3份，再根据天平是否平衡判断次品所在的组，之后对有次品的组重复分组称量步骤，直到找到次品。
【解析】
1. 第一次分组称量：把13个粽子分成3份，分别为4个、4个、5个，将天平两边各放4个粽子。
情况一：天平平衡，说明次品在剩下的5个粽子中。
① 第二次分组称量：把剩下的5个粽子分成3份，2个、2个、1个，天平两边各放2个粽子。
若天平平衡，剩下的1个就是次品。
若天平不平衡，次品在较轻的2个粽子中。
② 第三次分组称量：把较轻的2个粽子分成2份，每份1个，天平两边各放1个，较轻的那个就是次品。
情况二：天平不平衡，说明次品在较轻的4个粽子中。
① 第二次分组称量：把较轻的4个粽子分成2份，每份2个，天平两边各放2个，次品在较轻的2个粽子中。
② 第三次分组称量：把较轻的2个粽子分成2份，每份1个，天平两边各放1个，较轻的那个就是次品。
综上，无论哪种情况，至少称3次就能保证找到次品。
【答案】
把13个粽子分成（3）份，天平两边各放（4）个。
平衡：
把剩下的5个粽子分成（3）份，天平两边各放（2）个。
平衡→剩下的一定是（次品）
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
不平衡：
把较轻的4个粽子分成（2）份，天平两边各放（2）个。
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理、合理分组策略
【点评】
本题重点考查找次品的最优解法，关键在于掌握“将物品尽量分成3份，每份数量尽量接近”的分组原则，通过逐步缩小次品范围，高效定位次品，能有效培养学生的逻辑推理能力与优化思维。
【难度系数】
0.4
这是一道找次品的问题，解题核心是利用天平的平衡原理，通过合理分组来逐步缩小次品所在的范围。最优策略是将物品分成3份，尽量平均分，这样每次称量后能排除最多的正常物品，最快锁定次品位置。我们先把13个粽子分成数量尽量接近的3份，再根据天平是否平衡判断次品所在的组，之后对有次品的组重复分组称量步骤，直到找到次品。
【解析】
1. 第一次分组称量：把13个粽子分成3份，分别为4个、4个、5个，将天平两边各放4个粽子。
情况一：天平平衡，说明次品在剩下的5个粽子中。
① 第二次分组称量：把剩下的5个粽子分成3份，2个、2个、1个，天平两边各放2个粽子。
若天平平衡，剩下的1个就是次品。
若天平不平衡，次品在较轻的2个粽子中。
② 第三次分组称量：把较轻的2个粽子分成2份，每份1个，天平两边各放1个，较轻的那个就是次品。
情况二：天平不平衡，说明次品在较轻的4个粽子中。
① 第二次分组称量：把较轻的4个粽子分成2份，每份2个，天平两边各放2个，次品在较轻的2个粽子中。
② 第三次分组称量：把较轻的2个粽子分成2份，每份1个，天平两边各放1个，较轻的那个就是次品。
综上，无论哪种情况，至少称3次就能保证找到次品。
【答案】
把13个粽子分成（3）份，天平两边各放（4）个。
平衡：
把剩下的5个粽子分成（3）份，天平两边各放（2）个。
平衡→剩下的一定是（次品）
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
不平衡：
把较轻的4个粽子分成（2）份，天平两边各放（2）个。
不平衡→把较轻的2个粽子分成（2）份，天平两边各放（1）个，较（轻）的一定是（次品）
至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理、合理分组策略
【点评】
本题重点考查找次品的最优解法，关键在于掌握“将物品尽量分成3份，每份数量尽量接近”的分组原则，通过逐步缩小次品范围，高效定位次品，能有效培养学生的逻辑推理能力与优化思维。
【难度系数】
0.4
4 一家古玩商店的经理不小心将1枚假铜币混入了10枚真铜币中,这10枚真铜币的外形、质量完全相同,假铜币的外形与真铜币一样,只是质量不一样,但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称,至少称几次,就能保证帮经理从11枚铜币中找出假铜币? 请用文字写出你的称法。
答案
1. 将11枚铜币分成4枚、4枚、3枚三组。
2. 第一次称：把两组4枚的分别放在天平两端。
若天平平衡：
① 第二次称：从剩下的3枚中任取2枚，与2枚真铜币（从之前的4枚组中取）放在天平两端。
若平衡，剩下的1枚是假铜币；
若不平衡，第三次称：将这2枚中的1枚与1枚真铜币称，平衡则另一枚是假铜币，不平衡则该枚是假铜币。
若天平不平衡：
① 记重的一组为A组（4枚），轻的一组为B组（4枚），剩下3枚为真铜币C组。
② 第二次称：取A组3枚+B组1枚放天平左边，A组1枚+C组3枚放天平右边。
若左边重：第三次称A组3枚中的任意2枚，重的是假铜币，平衡则剩下的1枚是假铜币。
若左边轻：第三次称A组的那1枚与1枚真铜币，平衡则B组的那1枚是假铜币，不平衡则A组的那1枚是假铜币。
若平衡：第三次称B组剩下的3枚中的任意2枚，轻的是假铜币，平衡则剩下的1枚是假铜币。
答：至少称3次，就能保证帮经理从11枚铜币中找出假铜币。
2. 第一次称：把两组4枚的分别放在天平两端。
若天平平衡：
① 第二次称：从剩下的3枚中任取2枚，与2枚真铜币（从之前的4枚组中取）放在天平两端。
若平衡，剩下的1枚是假铜币；
若不平衡，第三次称：将这2枚中的1枚与1枚真铜币称，平衡则另一枚是假铜币，不平衡则该枚是假铜币。
若天平不平衡：
① 记重的一组为A组（4枚），轻的一组为B组（4枚），剩下3枚为真铜币C组。
② 第二次称：取A组3枚+B组1枚放天平左边，A组1枚+C组3枚放天平右边。
若左边重：第三次称A组3枚中的任意2枚，重的是假铜币，平衡则剩下的1枚是假铜币。
若左边轻：第三次称A组的那1枚与1枚真铜币，平衡则B组的那1枚是假铜币，不平衡则A组的那1枚是假铜币。
若平衡：第三次称B组剩下的3枚中的任意2枚，轻的是假铜币，平衡则剩下的1枚是假铜币。
答：至少称3次，就能保证帮经理从11枚铜币中找出假铜币。
解析
【分析】
要解决这个找假铜币的问题，核心是借助天平平衡原理，通过合理分组逐步缩小假铜币的范围，同时确定假铜币与真铜币的轻重关系。首先要将铜币尽量平均分组，这样能最大程度减少称重次数：把11枚分成4枚、4枚、3枚三组，先称两组4枚的，再根据天平是否平衡分情况讨论：
1. 若天平平衡，说明假铜币在剩下的3枚中，此时用已知的真铜币和这3枚中的部分对比，进一步缩小范围；
2. 若天平不平衡，说明假铜币在这8枚中，需要重新组合分组称重，既缩小范围，又判断假铜币的轻重属性，再通过第三次称重确定假铜币。
【解析】
1. 分组：将11枚铜币分成4枚、4枚、3枚三组。
2. 第一次称重：把两组4枚的分别放在天平两端。
情况一：天平平衡
① 第二次称重：从剩下的3枚中任取2枚，与2枚真铜币（从之前的4枚组中选取）放在天平两端。
若天平平衡，则剩下的1枚是假铜币；
若天平不平衡，进行第三次称重：将这2枚中的1枚与1枚真铜币称重，若平衡则另一枚是假铜币，若不平衡则该枚是假铜币。
情况二：天平不平衡
① 记重的一组为A组（4枚），轻的一组为B组（4枚），剩下的3枚为真铜币C组。
② 第二次称重：取A组3枚+B组1枚放在天平左边，A组1枚+C组3枚放在天平右边。
若左边重：第三次称重A组3枚中的任意2枚，重的那枚是假铜币；若平衡，则剩下的1枚是假铜币。
若左边轻：第三次称重A组的那1枚与1枚真铜币，若平衡则B组的那1枚是假铜币，若不平衡则A组的那1枚是假铜币。
若平衡：第三次称重B组剩下的3枚中的任意2枚，轻的那枚是假铜币；若平衡，则剩下的1枚是假铜币。
【答案】
至少称3次，就能保证帮经理从11枚铜币中找出假铜币，具体称法如下：
1. 将11枚铜币分成4枚、4枚、3枚三组；
2. 第一次称两组4枚：
若天平平衡，第二次从剩下的3枚中任取2枚，与2枚真铜币称重，平衡则剩下的1枚是假铜币，不平衡则第三次将这2枚中的1枚与1枚真铜币称重，确定假铜币；
若天平不平衡，记重的一组为A组、轻的一组为B组，第二次称A组3枚+B组1枚与A组1枚+3枚真铜币，根据天平状态，第三次称重对应组内的铜币，确定假铜币。
【知识点】
找次品策略、逻辑推理
【点评】
本题属于特殊的找次品问题，难点在于假铜币的轻重未知，需要通过合理的分组与称重组合，同时判断假铜币的轻重属性并缩小范围，非常考验逻辑推理能力和统筹规划思维，有助于提升学生分析问题和解决问题的能力。
【难度系数】
0.3
要解决这个找假铜币的问题，核心是借助天平平衡原理，通过合理分组逐步缩小假铜币的范围，同时确定假铜币与真铜币的轻重关系。首先要将铜币尽量平均分组，这样能最大程度减少称重次数：把11枚分成4枚、4枚、3枚三组，先称两组4枚的，再根据天平是否平衡分情况讨论：
1. 若天平平衡，说明假铜币在剩下的3枚中，此时用已知的真铜币和这3枚中的部分对比，进一步缩小范围；
2. 若天平不平衡，说明假铜币在这8枚中，需要重新组合分组称重，既缩小范围，又判断假铜币的轻重属性，再通过第三次称重确定假铜币。
【解析】
1. 分组：将11枚铜币分成4枚、4枚、3枚三组。
2. 第一次称重：把两组4枚的分别放在天平两端。
情况一：天平平衡
① 第二次称重：从剩下的3枚中任取2枚，与2枚真铜币（从之前的4枚组中选取）放在天平两端。
若天平平衡，则剩下的1枚是假铜币；
若天平不平衡，进行第三次称重：将这2枚中的1枚与1枚真铜币称重，若平衡则另一枚是假铜币，若不平衡则该枚是假铜币。
情况二：天平不平衡
① 记重的一组为A组（4枚），轻的一组为B组（4枚），剩下的3枚为真铜币C组。
② 第二次称重：取A组3枚+B组1枚放在天平左边，A组1枚+C组3枚放在天平右边。
若左边重：第三次称重A组3枚中的任意2枚，重的那枚是假铜币；若平衡，则剩下的1枚是假铜币。
若左边轻：第三次称重A组的那1枚与1枚真铜币，若平衡则B组的那1枚是假铜币，若不平衡则A组的那1枚是假铜币。
若平衡：第三次称重B组剩下的3枚中的任意2枚，轻的那枚是假铜币；若平衡，则剩下的1枚是假铜币。
【答案】
至少称3次，就能保证帮经理从11枚铜币中找出假铜币，具体称法如下：
1. 将11枚铜币分成4枚、4枚、3枚三组；
2. 第一次称两组4枚：
若天平平衡，第二次从剩下的3枚中任取2枚，与2枚真铜币称重，平衡则剩下的1枚是假铜币，不平衡则第三次将这2枚中的1枚与1枚真铜币称重，确定假铜币；
若天平不平衡，记重的一组为A组、轻的一组为B组，第二次称A组3枚+B组1枚与A组1枚+3枚真铜币，根据天平状态，第三次称重对应组内的铜币，确定假铜币。
【知识点】
找次品策略、逻辑推理
【点评】
本题属于特殊的找次品问题，难点在于假铜币的轻重未知，需要通过合理的分组与称重组合，同时判断假铜币的轻重属性并缩小范围，非常考验逻辑推理能力和统筹规划思维，有助于提升学生分析问题和解决问题的能力。
【难度系数】
0.3
