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(1)32 的因数有(),其中质数有(),合数有()。
答案
1×32=32
2×16=32
4×8=32
32的因数有(1、2、4、8、16、32)，其中质数有(2)，合数有(4、8、16、32)。
2×16=32
4×8=32
32的因数有(1、2、4、8、16、32)，其中质数有(2)，合数有(4、8、16、32)。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：
1. 找32的因数：根据因数的定义，能整除32的数就是它的因数。我们可以用成对相乘的方法来找，从1开始依次找出两个数相乘等于32的组合，这样能保证不重复不遗漏。
2. 区分质数：质数是只有1和它本身两个因数的数，在找到的因数中筛选出符合这个条件的数。
3. 区分合数：合数是除了1和它本身还有其他因数的数，同样在因数中筛选出符合条件的数，注意1既不是质数也不是合数。
【解析】
1. 找32的因数：
因为 $1×32=32$，$2×16=32$，$4×8=32$，所以32的因数有1、2、4、8、16、32。
2. 筛选质数：
在这些因数中，只有2的因数是1和它本身，符合质数的定义，所以质数是2。
3. 筛选合数：
4的因数有1、2、4；8的因数有1、2、4、8；16的因数有1、2、4、8、16；32的因数有1、2、4、8、16、32，这些数除了1和本身还有其他因数，符合合数的定义，所以合数是4、8、16、32。
【答案】
1、2、4、8、16、32；2；4、8、16、32
【知识点】
因数的求法；质数的定义；合数的定义
【点评】
本题主要考查因数、质数、合数的基本概念，解题关键是掌握成对找因数的方法，准确区分质数与合数，牢记1既不是质数也不是合数。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以分三步思考：
1. 找32的因数：根据因数的定义，能整除32的数就是它的因数。我们可以用成对相乘的方法来找，从1开始依次找出两个数相乘等于32的组合，这样能保证不重复不遗漏。
2. 区分质数：质数是只有1和它本身两个因数的数，在找到的因数中筛选出符合这个条件的数。
3. 区分合数：合数是除了1和它本身还有其他因数的数，同样在因数中筛选出符合条件的数，注意1既不是质数也不是合数。
【解析】
1. 找32的因数：
因为 $1×32=32$，$2×16=32$，$4×8=32$，所以32的因数有1、2、4、8、16、32。
2. 筛选质数：
在这些因数中，只有2的因数是1和它本身，符合质数的定义，所以质数是2。
3. 筛选合数：
4的因数有1、2、4；8的因数有1、2、4、8；16的因数有1、2、4、8、16；32的因数有1、2、4、8、16、32，这些数除了1和本身还有其他因数，符合合数的定义，所以合数是4、8、16、32。
【答案】
1、2、4、8、16、32；2；4、8、16、32
【知识点】
因数的求法；质数的定义；合数的定义
【点评】
本题主要考查因数、质数、合数的基本概念，解题关键是掌握成对找因数的方法，准确区分质数与合数，牢记1既不是质数也不是合数。
【难度系数】
0.9
(2)48 和 A 的最大公因数是 24,最小公倍数是 144,A 是()。
答案
24×144÷48
=3456÷48
=72
答：A是72。
=3456÷48
=72
答：A是72。
解析
【分析】
我们可以利用“两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积”这一关键结论来解题。已知48和A的最大公因数是24，最小公倍数是144，那么A就等于（最大公因数×最小公倍数）除以48，代入数值计算即可得到A的值。
【解析】
根据“两个数的乘积=最大公因数×最小公倍数”，可得：
A = 24×144÷48
= 3456÷48
= 72
答：A是72。
【答案】
72
【知识点】
倍因关系应用
【点评】
本题主要考查对两个数的最大公因数与最小公倍数之间关系的理解与应用，牢记核心结论是解题关键，属于基础应用类题目，有助于巩固数的倍因相关知识点。
【难度系数】
0.7
我们可以利用“两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积”这一关键结论来解题。已知48和A的最大公因数是24，最小公倍数是144，那么A就等于（最大公因数×最小公倍数）除以48，代入数值计算即可得到A的值。
【解析】
根据“两个数的乘积=最大公因数×最小公倍数”，可得：
A = 24×144÷48
= 3456÷48
= 72
答：A是72。
【答案】
72
【知识点】
倍因关系应用
【点评】
本题主要考查对两个数的最大公因数与最小公倍数之间关系的理解与应用，牢记核心结论是解题关键，属于基础应用类题目，有助于巩固数的倍因相关知识点。
【难度系数】
0.7
(3)有一个分数,其分子与分母的和是 98,当分子、分母都加上 1 以后,可以约分成$\frac {2}{3}$,原来的分数是()。
答案
98+1+1=100
2+3=5
100÷5=20
分子：20×2-1=39
分母：20×3-1=59
答：原来的分数是$\frac{39}{59}$。
2+3=5
100÷5=20
分子：20×2-1=39
分母：20×3-1=59
答：原来的分数是$\frac{39}{59}$。
解析
【分析】
首先，我们需要理清题目中的数量关系：原来分子与分母的和是98，当分子、分母都加1后，它们的总和会增加2（分子、分母各加1），即新的分子分母和为98+1+1=100。此时分数约分为$\frac{2}{3}$，说明新分子和新分母的比是2:3，我们可以把新分子看作2份，新分母看作3份，总份数为2+3=5份。用新的分子分母和除以总份数得到每份的数值，再分别求出新分子、新分母，最后减去1就能还原出原来的分子和分母，进而得到原来的分数。
【解析】
1. 计算分子、分母都加1后的总和：
$98 + 1 + 1 = 100$
2. 确定约分后分子与分母的总份数：
$2 + 3 = 5$
3. 求出每份的数值：
$100 ÷ 5 = 20$
4. 计算原来的分子和分母：
原来的分子：$20×2 - 1 = 39$
原来的分母：$20×3 - 1 = 59$
综上，原来的分数是$\frac{39}{59}$。
【答案】
$\frac{39}{59}$
【知识点】
分数的基本性质、按比例分配
【点评】
本题考查分数基本性质的应用及按比例分配的解题思路，解题关键是先求出分子分母变化后的总和，再根据约分后的比例关系求出变化后的分子分母，最后还原得到原分数，计算时要注意减去额外加上的1，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要理清题目中的数量关系：原来分子与分母的和是98，当分子、分母都加1后，它们的总和会增加2（分子、分母各加1），即新的分子分母和为98+1+1=100。此时分数约分为$\frac{2}{3}$，说明新分子和新分母的比是2:3，我们可以把新分子看作2份，新分母看作3份，总份数为2+3=5份。用新的分子分母和除以总份数得到每份的数值，再分别求出新分子、新分母，最后减去1就能还原出原来的分子和分母，进而得到原来的分数。
【解析】
1. 计算分子、分母都加1后的总和：
$98 + 1 + 1 = 100$
2. 确定约分后分子与分母的总份数：
$2 + 3 = 5$
3. 求出每份的数值：
$100 ÷ 5 = 20$
4. 计算原来的分子和分母：
原来的分子：$20×2 - 1 = 39$
原来的分母：$20×3 - 1 = 59$
综上，原来的分数是$\frac{39}{59}$。
【答案】
$\frac{39}{59}$
【知识点】
分数的基本性质、按比例分配
【点评】
本题考查分数基本性质的应用及按比例分配的解题思路，解题关键是先求出分子分母变化后的总和，再根据约分后的比例关系求出变化后的分子分母，最后还原得到原分数，计算时要注意减去额外加上的1，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
(1)直线上有几个点(如右图),关于这几个点代表的数,表述正确的是()。
A.M 大约是$\frac {1}{10}$
B.N 可以写成真分数
C.P 是$\frac {3}{2}$
D.Q 比 2 大
A.M 大约是$\frac {1}{10}$
B.N 可以写成真分数
C.P 是$\frac {3}{2}$
D.Q 比 2 大
答案
D
解析
1. 选项A：M在0和1之间，距离0的距离大于$\frac{1}{10}$（0.1），表述错误。
2. 选项B：N代表1，1写成的分数是假分数，真分数是小于1的分数，表述错误。
3. 选项C：$\frac{3}{2}=1.5$，P的位置靠近2，并非1.5，表述错误。
4. 选项D：Q在2的右侧，代表的数大于2，表述正确。
2. 选项B：N代表1，1写成的分数是假分数，真分数是小于1的分数，表述错误。
3. 选项C：$\frac{3}{2}=1.5$，P的位置靠近2，并非1.5，表述错误。
4. 选项D：Q在2的右侧，代表的数大于2，表述正确。
(2)下列选项的结果一定为偶数的是()。
A.33 个奇数的和
B.34 个奇数的积
C.相邻 3 个自然数的积
D.7 个连续自然数的和
A.33 个奇数的和
B.34 个奇数的积
C.相邻 3 个自然数的积
D.7 个连续自然数的和
答案
C
解析
根据奇数、偶数的性质分析各选项：
1. 选项A：奇数个奇数相加的和为奇数，33是奇数，所以33个奇数的和是奇数，不是偶数。
2. 选项B：奇数相乘的积始终为奇数，34个奇数的积是奇数，不是偶数。
3. 选项C：相邻3个自然数中必有一个偶数，偶数与任何数相乘的积为偶数，因此相邻3个自然数的积一定是偶数。
4. 选项D：设7个连续自然数的第一个数为n，和为7(n+3)，当n为偶数时，n+3是奇数，7×奇数=奇数；当n为奇数时，n+3是偶数，7×偶数=偶数，所以结果不一定是偶数。
综上，结果一定为偶数的是选项C。
1. 选项A：奇数个奇数相加的和为奇数，33是奇数，所以33个奇数的和是奇数，不是偶数。
2. 选项B：奇数相乘的积始终为奇数，34个奇数的积是奇数，不是偶数。
3. 选项C：相邻3个自然数中必有一个偶数，偶数与任何数相乘的积为偶数，因此相邻3个自然数的积一定是偶数。
4. 选项D：设7个连续自然数的第一个数为n，和为7(n+3)，当n为偶数时，n+3是奇数，7×奇数=奇数；当n为奇数时，n+3是偶数，7×偶数=偶数，所以结果不一定是偶数。
综上，结果一定为偶数的是选项C。
3 选出两张数字卡片,按要求组数(写出所有符合要求的数)。
$\boxed{8}$ $\boxed{5}$ $\boxed{0}$ $\boxed{9}$
(1)组成的数是奇数。
(2)组成的数是 5 的倍数。
(3)组成的数既是 2 和 5 的倍数,又是 3 的倍数。
$\boxed{8}$ $\boxed{5}$ $\boxed{0}$ $\boxed{9}$
(1)组成的数是奇数。
(2)组成的数是 5 的倍数。
(3)组成的数既是 2 和 5 的倍数,又是 3 的倍数。
答案
(1) 85、95、59、89
(2) 80、50、90、85、95
(3) 90
(2) 80、50、90、85、95
(3) 90
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要根据不同数的特征来逐一分析：
1. 对于组成奇数：首先明确奇数的特征是个位为奇数，本题中可用的奇数数字是5和9，同时十位不能为0，所以先确定个位数字，再搭配符合要求的十位数字。
2. 对于组成5的倍数：5的倍数特征是个位为0或5，分两种情况讨论，个位为0时，十位可以是任意非0数字；个位为5时，十位不能为0，据此找出所有符合的数。
3. 对于组成既是2和5的倍数，又是3的倍数的数：首先2和5的倍数特征是个位为0，在此基础上，3的倍数要求各位数字之和能被3整除，结合个位是0的条件，只需十位数字能被3整除即可，从给定数字中筛选出符合的十位数字。
【解析】
(1) 组成奇数：
根据奇数特征，个位需为5或9：
当个位是5时，十位可选8、9，组成85、95；
当个位是9时，十位可选5、8，组成59、89。
(2) 组成5的倍数：
根据5的倍数特征，个位需为0或5：
当个位是0时，十位可选8、5、9，组成80、50、90；
当个位是5时，十位可选8、9，组成85、95。
(3) 组成既是2和5的倍数，又是3的倍数的数：
既是2和5的倍数，个位必须是0；
再满足3的倍数特征，即各位数字之和能被3整除，个位是0，十位数字需满足：8+0=8（不能被3整除），5+0=5（不能被3整除），9+0=9（能被3整除），所以这个数是90。
【答案】
(1) 85、95、59、89
(2) 80、50、90、85、95
(3) 90
【知识点】
奇数的特征、5的倍数特征、2、3、5的倍数特征
【点评】
本题主要考查各类数的特征的综合运用，解题时需准确牢记不同数的特征，同时注意0不能作为两位数的十位数字，避免出现错误或遗漏情况，通过分类讨论的方法可以确保不重复不遗漏地找出所有符合要求的数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要根据不同数的特征来逐一分析：
1. 对于组成奇数：首先明确奇数的特征是个位为奇数，本题中可用的奇数数字是5和9，同时十位不能为0，所以先确定个位数字，再搭配符合要求的十位数字。
2. 对于组成5的倍数：5的倍数特征是个位为0或5，分两种情况讨论，个位为0时，十位可以是任意非0数字；个位为5时，十位不能为0，据此找出所有符合的数。
3. 对于组成既是2和5的倍数，又是3的倍数的数：首先2和5的倍数特征是个位为0，在此基础上，3的倍数要求各位数字之和能被3整除，结合个位是0的条件，只需十位数字能被3整除即可，从给定数字中筛选出符合的十位数字。
【解析】
(1) 组成奇数：
根据奇数特征，个位需为5或9：
当个位是5时，十位可选8、9，组成85、95；
当个位是9时，十位可选5、8，组成59、89。
(2) 组成5的倍数：
根据5的倍数特征，个位需为0或5：
当个位是0时，十位可选8、5、9，组成80、50、90；
当个位是5时，十位可选8、9，组成85、95。
(3) 组成既是2和5的倍数，又是3的倍数的数：
既是2和5的倍数，个位必须是0；
再满足3的倍数特征，即各位数字之和能被3整除，个位是0，十位数字需满足：8+0=8（不能被3整除），5+0=5（不能被3整除），9+0=9（能被3整除），所以这个数是90。
【答案】
(1) 85、95、59、89
(2) 80、50、90、85、95
(3) 90
【知识点】
奇数的特征、5的倍数特征、2、3、5的倍数特征
【点评】
本题主要考查各类数的特征的综合运用，解题时需准确牢记不同数的特征，同时注意0不能作为两位数的十位数字，避免出现错误或遗漏情况，通过分类讨论的方法可以确保不重复不遗漏地找出所有符合要求的数。
【难度系数】
0.8
4 现有一种长 45 cm、宽 30 cm 的长方形纸若干张。
(1)将其中一张裁成正方形纸片,且纸不能有剩余,最少可以裁多少张正方形纸片?
(2)若要将这些纸拼成一个大的正方形纸,至少需要多少张这样的长方形纸?
(1)将其中一张裁成正方形纸片,且纸不能有剩余,最少可以裁多少张正方形纸片?
(2)若要将这些纸拼成一个大的正方形纸,至少需要多少张这样的长方形纸?
答案
(1)
45和30的最大公因数是15
45÷15=3
30÷15=2
3×2=6（张）
答：最少可以裁6张正方形纸片。
(2)
45和30的最小公倍数是90
90÷45=2
90÷30=3
2×3=6（张）
答：至少需要6张这样的长方形纸。
45和30的最大公因数是15
45÷15=3
30÷15=2
3×2=6（张）
答：最少可以裁6张正方形纸片。
(2)
45和30的最小公倍数是90
90÷45=2
90÷30=3
2×3=6（张）
答：至少需要6张这样的长方形纸。
解析
【分析】
（1）要将长方形纸裁成无剩余的正方形且数量最少，需让正方形的边长尽可能大，这个最大边长就是长方形长和宽的最大公因数。先求出45和30的最大公因数，再分别计算长方形长、宽里各包含几个该边长，最后将两个数量相乘得到最少正方形纸片数。
（2）用长方形纸拼成大正方形且数量最少，大正方形的边长应是长方形长和宽的最小公倍数。先求出45和30的最小公倍数，再计算大正方形边长里包含几个长方形的长和宽，将两个数量相乘得到至少需要的长方形纸数量。
【解析】
(1) ① 求45和30的最大公因数
分解质因数：$45=3×3×5$，$30=2×3×5$，所以45和30的最大公因数是$3×5=15$。
② 计算长、宽能裁出的正方形个数
长可裁出：$45÷15=3$（个）
宽可裁出：$30÷15=2$（个）
③ 计算总张数
总张数：$3×2=6$（张）
答：最少可以裁6张正方形纸片。
(2) ① 求45和30的最小公倍数
根据分解质因数结果，最小公倍数为$2×3×3×5=90$。
② 计算大正方形边长包含的长方形长、宽个数
长的个数：$90÷45=2$（个）
宽的个数：$90÷30=3$（个）
③ 计算总张数
总张数：$2×3=6$（张）
答：至少需要6张这样的长方形纸。
【答案】
(1) 6张；(2) 6张
【知识点】
最大公因数的应用、最小公倍数的应用
【点评】
本题核心是利用最大公因数和最小公倍数解决实际裁剪、拼接问题，明确“最少裁正方形对应最大公因数，最少拼正方形对应最小公倍数”的逻辑，结合简单乘除运算即可求解，考验对公倍数、公因数概念的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要将长方形纸裁成无剩余的正方形且数量最少，需让正方形的边长尽可能大，这个最大边长就是长方形长和宽的最大公因数。先求出45和30的最大公因数，再分别计算长方形长、宽里各包含几个该边长，最后将两个数量相乘得到最少正方形纸片数。
（2）用长方形纸拼成大正方形且数量最少，大正方形的边长应是长方形长和宽的最小公倍数。先求出45和30的最小公倍数，再计算大正方形边长里包含几个长方形的长和宽，将两个数量相乘得到至少需要的长方形纸数量。
【解析】
(1) ① 求45和30的最大公因数
分解质因数：$45=3×3×5$，$30=2×3×5$，所以45和30的最大公因数是$3×5=15$。
② 计算长、宽能裁出的正方形个数
长可裁出：$45÷15=3$（个）
宽可裁出：$30÷15=2$（个）
③ 计算总张数
总张数：$3×2=6$（张）
答：最少可以裁6张正方形纸片。
(2) ① 求45和30的最小公倍数
根据分解质因数结果，最小公倍数为$2×3×3×5=90$。
② 计算大正方形边长包含的长方形长、宽个数
长的个数：$90÷45=2$（个）
宽的个数：$90÷30=3$（个）
③ 计算总张数
总张数：$2×3=6$（张）
答：至少需要6张这样的长方形纸。
【答案】
(1) 6张；(2) 6张
【知识点】
最大公因数的应用、最小公倍数的应用
【点评】
本题核心是利用最大公因数和最小公倍数解决实际裁剪、拼接问题，明确“最少裁正方形对应最大公因数，最少拼正方形对应最小公倍数”的逻辑，结合简单乘除运算即可求解，考验对公倍数、公因数概念的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
