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1. 下列式子①$x - 2 = \frac{2}{x}$；②$0.3x \geq 1$；③$-\frac{x}{6} = 5x - 1$；④$x^2 - 4x = 3$；⑤$x = 6$；⑥$x + 2y = 0$。其中,是一元一次方程的个数是( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
A
解析
① $x - 2 = \frac{2}{x}$：由于分母含有未知数$x$，因此不是一元一次方程。
② $0.3x \geq 1$：这是一个不等式，不是方程，因此不是一元一次方程。
③ $-\frac{x}{6} = 5x - 1$：此方程只含有一个未知数$x$，且$x$的次数为1，满足一元一次方程的定义。
④ $x^2 - 4x = 3$：此方程中未知数$x$的最高次数为2，因此不是一元一次方程。
⑤ $x = 6$：此方程只含有一个未知数$x$，且$x$的次数为1，满足一元一次方程的定义。
⑥ $x + 2y = 0$：此方程含有两个未知数$x$和$y$，因此不是一元一次方程。
综上所述，只有③和⑤是一元一次方程，共2个。
② $0.3x \geq 1$：这是一个不等式，不是方程，因此不是一元一次方程。
③ $-\frac{x}{6} = 5x - 1$：此方程只含有一个未知数$x$，且$x$的次数为1，满足一元一次方程的定义。
④ $x^2 - 4x = 3$：此方程中未知数$x$的最高次数为2，因此不是一元一次方程。
⑤ $x = 6$：此方程只含有一个未知数$x$，且$x$的次数为1，满足一元一次方程的定义。
⑥ $x + 2y = 0$：此方程含有两个未知数$x$和$y$，因此不是一元一次方程。
综上所述，只有③和⑤是一元一次方程，共2个。
2. 下列等式变形中,错误的是( )
A.由$a = b$,得$a - 3 = b - 3$
B.由$a = b$,得$\frac{a}{2} = \frac{b}{2}$
C.由$x + 2 = y + 2$,得$x = y$
D.由$a = b$,得$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
A.由$a = b$,得$a - 3 = b - 3$
B.由$a = b$,得$\frac{a}{2} = \frac{b}{2}$
C.由$x + 2 = y + 2$,得$x = y$
D.由$a = b$,得$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
答案
D
解析
A. 由 $a=b$，根据等式性质1，两边同时减3，得到 $a-3=b-3$，正确。
B. 由 $a=b$，根据等式性质2，两边同时除以2（2为非零数），得到 $\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$，正确。
C. 由 $x+2=y+2$，根据等式性质1，两边同时减2，得到 $x=y$，正确。
D. 由 $a=b$，得 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，未说明 $c\neq0$，若 $c=0$，则变形无意义，错误。
3. 解方程$3 - \frac{5x + 6}{2} = -\frac{x + 16}{4}$,去分母得( )
A.$3 - 2(5x + 6) = -x + 16$
B.$12 - 2(5x + 6) = -(x + 16)$
C.$12 - 2(5x + 6) = -x + 16$
D.$12 - 10x + 12 = -(x + 16)$
A.$3 - 2(5x + 6) = -x + 16$
B.$12 - 2(5x + 6) = -(x + 16)$
C.$12 - 2(5x + 6) = -x + 16$
D.$12 - 10x + 12 = -(x + 16)$
答案
B
解析
方程两边同时乘以4去分母，方程$3-\frac{5x + 6}{2}=-\frac{x + 16}{4}$，给等式两边同乘4得：
$4×3-4×\frac{5x + 6}{2}=- (x + 16)$，即$12 - 2(5x + 6)=-(x + 16)$。
$4×3-4×\frac{5x + 6}{2}=- (x + 16)$，即$12 - 2(5x + 6)=-(x + 16)$。
4. 方程$2x + a - 4 = 0的解是x = -2$,则$a$为( )
A.$-8$
B.$0$
C.$2$
D.$8$
A.$-8$
B.$0$
C.$2$
D.$8$
答案
D
解析
将$x=-2$代入方程$2x + a - 4 = 0$，得$2×(-2) + a - 4 = 0$，即$-4 + a - 4 = 0$，$a - 8 = 0$，解得$a=8$。
5. 新视角 新定义题 对于两个非零数$a$,$b$,规定$a※b = 2b - 3a$,若$1※(x + 1) = 1$,则$x$的值为( )
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
B
解析
由新定义$a※b = 2b - 3a$，得$1※(x + 1) = 2(x + 1) - 3×1$。
因为$1※(x + 1) = 1$，所以$2(x + 1) - 3 = 1$。
去括号：$2x + 2 - 3 = 1$，
合并同类项：$2x - 1 = 1$，
移项：$2x = 2$，
系数化为1：$x = 1$。
因为$1※(x + 1) = 1$，所以$2(x + 1) - 3 = 1$。
去括号：$2x + 2 - 3 = 1$，
合并同类项：$2x - 1 = 1$，
移项：$2x = 2$，
系数化为1：$x = 1$。
6. 新考向 数学文化《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为：现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱。三年共得100钱。问：出租的田有多少亩？设出租的田有$x$亩,可列方程为( )
A.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 1$
B.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 100$
C.$3x + 4x + 5x = 1$
D.$3x + 4x + 5x = 100$
A.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 1$
B.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 100$
C.$3x + 4x + 5x = 1$
D.$3x + 4x + 5x = 100$
答案
B
解析
设出租的田有$x$亩，根据题意，第一年每3亩1钱，则第一年收入为$\frac{x}{3}$钱；第二年每4亩1钱，则第二年收入为$\frac{x}{4}$钱；第三年每5亩1钱，则第三年收入为$\frac{x}{5}$钱。三年共得100钱，因此可列方程为$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 100$。
7. 小强在解方程“$-3x - 1 = 2x + k$”时,将“$-3x$”中的“$-$”抄漏了,得出$x = 4$,则原方程正确的解是( )
A.$x = -\frac{4}{5}$
B.$x = \frac{4}{5}$
C.$x = \frac{2}{5}$
D.$x = 4$
A.$x = -\frac{4}{5}$
B.$x = \frac{4}{5}$
C.$x = \frac{2}{5}$
D.$x = 4$
答案
A
解析
小强将方程$-3x - 1 = 2x + k$中的“$-$”抄漏，误为$3x - 1 = 2x + k$，解得$x = 4$。
将$x = 4$代入错误方程：
$3 × 4 - 1 = 2 × 4 + k$
$12 - 1 = 8 + k$
$k = 3$。
原方程为$-3x - 1 = 2x + 3$，整理得：
$-5x = 4$
$x = -\frac{4}{5}$。
将$x = 4$代入错误方程：
$3 × 4 - 1 = 2 × 4 + k$
$12 - 1 = 8 + k$
$k = 3$。
原方程为$-3x - 1 = 2x + 3$，整理得：
$-5x = 4$
$x = -\frac{4}{5}$。
8. [2025武汉江汉区月考]甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏。游戏的规则是：每名同学心中想一个数,并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学,每名同学将其他两名同学报来的数求和后说出结果,最终得到的结果如图所示。则甲同学心中所想的数是( )
A.$2$
B.$1$
C.$-2$
D.$-1$
A.$2$
B.$1$
C.$-2$
D.$-1$
答案
C
解析
设甲、乙、丙、丁、戊心中的数分别为$a$、$b$、$c$、$d$、$e$。根据题意，五人围成一圈，每人将左右相邻同学报来的数求和后说出结果，可得以下方程：
1. 乙的结果：$a + c = 10$
2. 丙的结果：$b + d = 12$
3. 丁的结果：$c + e = 16$
4. 戊的结果：$d + a = 8$
5. 甲的结果：$e + b = 6$
由方程1得$c = 10 - a$；由方程2得$d = 12 - b$；代入方程4：$(12 - b) + a = 8$，解得$b = a + 4$；由方程3得$e = 16 - c = 16 - (10 - a) = 6 + a$；代入方程5：$(6 + a) + (a + 4) = 6$，解得$2a + 10 = 6$，$2a = -4$，$a = -2$。
1. 乙的结果：$a + c = 10$
2. 丙的结果：$b + d = 12$
3. 丁的结果：$c + e = 16$
4. 戊的结果：$d + a = 8$
5. 甲的结果：$e + b = 6$
由方程1得$c = 10 - a$；由方程2得$d = 12 - b$；代入方程4：$(12 - b) + a = 8$，解得$b = a + 4$；由方程3得$e = 16 - c = 16 - (10 - a) = 6 + a$；代入方程5：$(6 + a) + (a + 4) = 6$，解得$2a + 10 = 6$，$2a = -4$，$a = -2$。
9. 已知关于$x的方程(m + 1)x^{|m|} - 3 = 0$是一元一次方程,则$m = $______。
答案
$1$
解析
根据一元一次方程的定义，方程$(m + 1)x^{|m|} - 3 = 0$ 中的 $x$ 的最高次数为 $1$，即 $|m| = 1$，同时 $x$ 的系数 $m + 1 \neq 0$。由 $|m| = 1$ 可得 $m = \pm 1$，又因为 $m + 1 \neq 0$，即 $m \neq -1$，所以 $m = 1$。
10. 新考法 整体代入法 已知$x = 1是方程3x - m = x + 2n$的一个解,则整式$m + 2n + 2025$的值为______。
答案
2027。
解析
将$x = 1$代入方程$3x - m = x + 2n$，得：
$3×1 - m = 1 + 2n$，
即：
$3 - m = 1 + 2n$，
移项得：
$m + 2n = 3 - 1= 2$，
所以：
$m + 2n + 2025 = 2 + 2025 = 2027$。
$3×1 - m = 1 + 2n$，
即：
$3 - m = 1 + 2n$，
移项得：
$m + 2n = 3 - 1= 2$，
所以：
$m + 2n + 2025 = 2 + 2025 = 2027$。
11. 若关于$x的方程5x + 4 = 4x - 3和方程2(x + 1) - m = -2(m - 2)$的解相同,则$m = $______。
答案
$16$
解析
首先解方程 $5x + 4 = 4x - 3$，
移项得：$5x - 4x = -3 - 4$，
合并同类项得：$x = -7$。
由于方程$2(x + 1) - m = -2(m - 2)$与上述方程的解相同，
所以将 $x = -7$ 代入方程$2(x + 1) - m = -2(m - 2)$中，
得：$2(-7 + 1) - m = -2(m - 2)$，
即：$-12 - m = -2m + 4$，
移项并合并同类项得：$m = 16$。
移项得：$5x - 4x = -3 - 4$，
合并同类项得：$x = -7$。
由于方程$2(x + 1) - m = -2(m - 2)$与上述方程的解相同，
所以将 $x = -7$ 代入方程$2(x + 1) - m = -2(m - 2)$中，
得：$2(-7 + 1) - m = -2(m - 2)$，
即：$-12 - m = -2m + 4$，
移项并合并同类项得：$m = 16$。
12. 若三个连续偶数的和是42,则这三个偶数分别是______。
答案
12，14，16。
解析
设三个连续偶数分别为 $x-2$, $x$, $x+2$。
根据题意，三个连续偶数的和为42，即：
$(x - 2) + x + (x + 2) = 42$，
合并同类项，得到：
$3x = 42$，
系数化为1，得到：
$x = 14$，
所以其他两个偶数为：
$x-2=12$，
$x+2=16$，
所以这三个连续偶数分别是12，14，16。
根据题意，三个连续偶数的和为42，即：
$(x - 2) + x + (x + 2) = 42$，
合并同类项，得到：
$3x = 42$，
系数化为1，得到：
$x = 14$，
所以其他两个偶数为：
$x-2=12$，
$x+2=16$，
所以这三个连续偶数分别是12，14，16。
13. 已知关于$x的方程9x - 3 = kx + 14$有整数解,那么满足条件的整数$k = $______。
答案
$8, 10, -8, 26$（由于题目要求填写具体数值，且未说明是单选，因此应填写所有可能的$k$值，实际填写时，若为选择题且为多选，应根据选项填写对应字母，此处为填空题直接给出答案数值。）
解析
首先，将方程 $9x - 3 = kx + 14$ 整理为：
$(9 - k)x = 17$
$x = \frac{17}{9 - k}$
由于方程有整数解，那么分母 $9 - k$ 必须是 17 的因约数，即 $9 - k$ 的值只能是 $\pm 1$，$\pm 17$。
当 $9 - k = 1$ 时，$k = 8$；
当 $9 - k = -1$ 时，$k = 10$；
当 $9 - k = 17$ 时，$k = -8$；
当 $9 - k = -17$ 时，$k = 26$。
所以，满足条件的整数 $k$ 有 $8, 10, -8, 26$。
$(9 - k)x = 17$
$x = \frac{17}{9 - k}$
由于方程有整数解，那么分母 $9 - k$ 必须是 17 的因约数，即 $9 - k$ 的值只能是 $\pm 1$，$\pm 17$。
当 $9 - k = 1$ 时，$k = 8$；
当 $9 - k = -1$ 时，$k = 10$；
当 $9 - k = 17$ 时，$k = -8$；
当 $9 - k = -17$ 时，$k = 26$。
所以，满足条件的整数 $k$ 有 $8, 10, -8, 26$。
