6. [2025 镇江月考]某同学在解方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 1$ 去分母时,方程右边的 $ -1 $ 没有乘 $ 3 $,因而求得方程的解为 $ x = 2 $.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 求出方程正确的解.

(1)根据题意得x=2是2x-1=x+a-1的解，
将x=2代入2x-1=x+a-1得2×2-1=2+a-1，
解得a=2.
(2)由
(1)可知a=2，则原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{3}-1$，
去分母，得2x-1=x+2-3，
移项，得2x-x=2-3+1，
合并同类项，得x=0.
所以方程正确的解为x=0.

7. [2025 邢台月考]若关于 $ x $ 的方程 $ 2x - \frac{1 - ax}{3} = 2(x + 1) - 1 $ 的解是整数,且关于 $ y $ 的多项式 $ (a - 1)y^2 + ay - 1 $ 是二次三项式,则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和是( )

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

A 【点拨】由方程$2x-\frac{1-ax}{3}=2(x+1)-1$，得$x=\frac{4}{a}$，因为关于x的方程$2x-\frac{1-ax}{3}=2(x+1)-1$的解是整数，所以a的可能取值为±4、±2、±1.因为关于y的多项式(a-1)y²+ay-1是二次三项式，所以a-1≠0，a≠0，即a≠1，且a≠0，所以所有满足条件的整数a的值为±4、±2、-1，所以所有满足条件的整数a的值之和是(-4)+(-2)+(-1)+2+4=-1.

8. 关于 $ x $ 的一元一次方程 $\frac{1}{6}mx - \frac{4}{3} = \frac{1}{2}(x - 2)$ 的解为整数,则整数 $ m $ 的所有可能的取值之和为______.

12 【点拨】解方程$\frac{1}{6}mx-\frac{4}{3}=\frac{1}{2}(x-2)$得$x=\frac{2}{m-3}$.由题意可得$x=\frac{2}{m-3}$为整数，所以m-3=±1或m-3=±2，解得m的值为4或2或5或1，所以整数m的所有可能的取值之和为4+2+5+1=12.

解方程$\frac{1}{6}mx - \frac{4}{3} = \frac{1}{2}(x - 2)$：
去分母，两边同乘6得：$mx - 8 = 3(x - 2)$
去括号得：$mx - 8 = 3x - 6$
移项、合并同类项得：$(m - 3)x = 2$
解得：$x = \frac{2}{m - 3}$
因为方程的解$x$为整数，且$m$为整数，所以$m - 3$是2的整数因数，即$m - 3 = \pm1$或$m - 3 = \pm2$。
当$m - 3 = 1$时，$m = 4$；
当$m - 3 = -1$时，$m = 2$；
当$m - 3 = 2$时，$m = 5$；
当$m - 3 = -2$时，$m = 1$。
整数$m$的所有可能取值为1，2，4，5，其和为$1 + 2 + 4 + 5 = 12$。
12

9. [2025 南通月考]若关于 $ x $ 的方程 $ mx - 3m = x - 3 $ 有无数个解,则 $ m $ 的值为( )

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

B 【点拨】因为mx-3m=x-3，所以(m-1)x=3m-3，因为方程mx-3m=x-3有无数个解，所以m-1=0，且3m-3=0，解得m=1.

10. 关于 $ x $ 的方程 $ 4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1 $ 的解与 $ 5(x - 3) = 4x - 10 $ 的解互为相反数.
(1) 求 $ -3a^2 + 7a - 1 $ 的值；
(2) 根据方程的解的定义试说明关于 $ t $ 的方程 $ at = 2t $ 有无数个解.

(1)解方程5(x-3)=4x-10得x=5，
因为两个方程的解互为相反数，所以另一个方程的解为x=-5，
把x=-5代入方程4x-(3a+1)=6x+2a-1，
得4×(-5)-(3a+1)=6×(-5)+2a-1，
解得a=2，
所以-3a²+7a-1=-3×2²+7×2-1=1.
(2)因为a=2，所以at=2t可化为2t=2t，
因为任何数代入2t=2t均成立，
所以关于t的方程at=2t有无数个解.

11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (m + 3)x^{|m| - 2} + 6n = 0 $ 为一元一次方程,且该方程的解与关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{5} = \frac{1}{2}$ 的解相同.
(1) 求 $ m $,$ n $ 的值；
(2) 若关于 $ y $ 的方程 $ |a|y + a = m + 1 + 2ny $ 无解,求 $ a $ 的值.

(1)因为关于x的方程(m+3)x^{|m|-2}+6n=0为一元一次方程，所以|m|-2=1，m+3≠0，所以m=3.
所以方程(m+3)x^{|m|-2}+6n=0可化为6x+6n=0，
解得x=-n.
解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{5}=\frac{1}{2}$，得x=-2.
因为两个方程的解相同，所以n=2.
(2)将m=3，n=2代入|a|y+a=m+1+2ny，得|a|y+a=4+4y，所以(|a|-4)y=4-a.
因为关于y的方程|a|y+a=m+1+2ny无解，
所以$\left\{\begin{array}{l} |a|-4=0,\\ 4-a≠0.\end{array}\right. $所以a=-4.