登录
1. 填空题。
(1)一个圆柱的体积是$30\ \mathrm{cm}^{3}$,一个与它等底等高的圆锥的体积是(
(2)把一根底面周长是$18.84\ \mathrm{dm}$、高是$5\ \mathrm{dm}$的圆柱形木料削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是(
(3)一个圆锥形容器,容积是$75.36\ \mathrm{mL}$,底面直径是$6\ \mathrm{cm}$,它的高是(
(1)一个圆柱的体积是$30\ \mathrm{cm}^{3}$,一个与它等底等高的圆锥的体积是(
10
)$\mathrm{cm}^{3}$。(2)把一根底面周长是$18.84\ \mathrm{dm}$、高是$5\ \mathrm{dm}$的圆柱形木料削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是(
94.2
)$\mathrm{dm}^{3}$。(3)一个圆锥形容器,容积是$75.36\ \mathrm{mL}$,底面直径是$6\ \mathrm{cm}$,它的高是(
8
)$\mathrm{cm}$。答案
1. (1)10 (2)94.2 (3)8
解析(1)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$。已知圆柱的体积是$30\ \mathrm{cm}^3$,所以一个与它等底等高的圆锥的体积是$30×\frac{1}{3}=10(\mathrm{cm}^3)$。
(2)圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍。先根据圆柱的体积公式求出这个圆柱的体积是$(18.84÷3.14÷2)^2×3.14×5=141.3(\mathrm{dm}^3)$,把它削成一个最大的圆锥,那么圆锥的体积是$141.3×\frac{1}{3}=47.1(\mathrm{dm}^3)$,所以削去部分的体积是$141.3-47.1=94.2(\mathrm{dm}^3)$。
(3)圆锥形容器的底面直径是6 cm,则它的底面半径是$6÷2=3(\mathrm{cm})$。圆锥形容器的容积是75.36 mL,$75.36\ \mathrm{mL}=75.36\ \mathrm{cm}^3$,根据$V=\frac{1}{3}π r^2h$可以推出$h=3V÷(π r^2)$,所以这个容器的高是$75.36×3÷(3.14×3^2)=8(\mathrm{cm})$。
解析(1)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$。已知圆柱的体积是$30\ \mathrm{cm}^3$,所以一个与它等底等高的圆锥的体积是$30×\frac{1}{3}=10(\mathrm{cm}^3)$。
(2)圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍。先根据圆柱的体积公式求出这个圆柱的体积是$(18.84÷3.14÷2)^2×3.14×5=141.3(\mathrm{dm}^3)$,把它削成一个最大的圆锥,那么圆锥的体积是$141.3×\frac{1}{3}=47.1(\mathrm{dm}^3)$,所以削去部分的体积是$141.3-47.1=94.2(\mathrm{dm}^3)$。
(3)圆锥形容器的底面直径是6 cm,则它的底面半径是$6÷2=3(\mathrm{cm})$。圆锥形容器的容积是75.36 mL,$75.36\ \mathrm{mL}=75.36\ \mathrm{cm}^3$,根据$V=\frac{1}{3}π r^2h$可以推出$h=3V÷(π r^2)$,所以这个容器的高是$75.36×3÷(3.14×3^2)=8(\mathrm{cm})$。
2. 选择题。(将正确答案的序号填在括号里)
(1)一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍,高不变,体积扩大到原来的(
A.3
B.6
C.9
D.27
(2)一个圆柱和一个圆锥的体积相等,高也相等。如果这个圆柱的底面积是$12\ \mathrm{dm}^{2}$,那么这个圆锥的底面积是(
A.4
B.6
C.12
D.36
(1)一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍,高不变,体积扩大到原来的(
C
)倍。A.3
B.6
C.9
D.27
(2)一个圆柱和一个圆锥的体积相等,高也相等。如果这个圆柱的底面积是$12\ \mathrm{dm}^{2}$,那么这个圆锥的底面积是(
D
)$\mathrm{dm}^{2}$。A.4
B.6
C.12
D.36
答案
2. (1)C (2)D
解析(1)本题可以运用圆锥的体积公式进行解答。圆锥的底面半径是$r$,高是$h$,体积是$\frac{1}{3}π r^2h$,圆锥的底面半径扩大到原来的3倍后是$3r$,高不变,则它的体积变为$\frac{1}{3}π×(3r)^2h=3π r^2h$,$3π r^2h÷\frac{1}{3}π r^2h=9$,所以它的体积扩大到原来的9倍。
(2)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$。圆柱和圆锥的体积相等,高也相等,则圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍。已知圆柱的底面积是$12\ \mathrm{dm}^2$,那么圆锥的底面积是$12×3=36(\mathrm{dm}^2)$。
解析(1)本题可以运用圆锥的体积公式进行解答。圆锥的底面半径是$r$,高是$h$,体积是$\frac{1}{3}π r^2h$,圆锥的底面半径扩大到原来的3倍后是$3r$,高不变,则它的体积变为$\frac{1}{3}π×(3r)^2h=3π r^2h$,$3π r^2h÷\frac{1}{3}π r^2h=9$,所以它的体积扩大到原来的9倍。
(2)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$。圆柱和圆锥的体积相等,高也相等,则圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍。已知圆柱的底面积是$12\ \mathrm{dm}^2$,那么圆锥的底面积是$12×3=36(\mathrm{dm}^2)$。
3. 计算下面各圆锥的体积。
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
3. (1)$3.14×3^2×9×\frac{1}{3}=84.78(\mathrm{cm}^3)$
(2)$3.14×(10÷2)^2×6×\frac{1}{3}=157(\mathrm{dm}^3)$
解析 根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算。
(2)$3.14×(10÷2)^2×6×\frac{1}{3}=157(\mathrm{dm}^3)$
解析 根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算。
4. 一个底面直径是$20\ \mathrm{cm}$的圆柱形杯中装有水,水里浸没着一块底面直径是$12\ \mathrm{cm}$、高是$10\ \mathrm{cm}$的圆锥形铁块。把圆锥形铁块从杯中取出后,杯中水面会下降多少厘米？(铁块取出时携带的水忽略不计)
答案
4. $20÷2=10(\mathrm{cm})$ $12÷2=6(\mathrm{cm})$
$3.14×6^2×10×\frac{1}{3}÷(3.14×10^2)=1.2(\mathrm{cm})$
解析 把圆锥形铁块从杯中取出后,下降部分的水的体积等于圆锥形铁块的体积。可以根据圆锥的体积公式求出铁块的体积,再除以圆柱形杯子的底面积,即可求得水面下降的高度。
$3.14×6^2×10×\frac{1}{3}÷(3.14×10^2)=1.2(\mathrm{cm})$
解析 把圆锥形铁块从杯中取出后,下降部分的水的体积等于圆锥形铁块的体积。可以根据圆锥的体积公式求出铁块的体积,再除以圆柱形杯子的底面积,即可求得水面下降的高度。
5. 同学们,在前面的学习中,我们知道长方形和直角三角形可以通过旋转形成圆柱和圆锥。将一个直角梯形(如图)绕$4\ \mathrm{cm}$长的底边所在的直线旋转一周,得到的立体图形的体积是多少立方厘米？
答案
5. $3^2×3.14×6-3^2×3.14×(6-4)×\frac{1}{3}$
$=150.72(\mathrm{cm}^3)$
解析 观察题图,将这个梯形绕4 cm长的底边所在的直线旋转一周,得到的立体图形可以看作是一个底面半径是3 cm、高是6 cm的圆柱从上方挖去了一个底面半径是3 cm、高是$(6-4)\mathrm{cm}$的圆锥。计算这个立体图形的体积,用圆柱的体积减去圆锥的体积即可,即$3^2×3.14×6-3^2×3.14×(6-4)×\frac{1}{3}=150.72(\mathrm{cm}^3)$。
$=150.72(\mathrm{cm}^3)$
解析 观察题图,将这个梯形绕4 cm长的底边所在的直线旋转一周,得到的立体图形可以看作是一个底面半径是3 cm、高是6 cm的圆柱从上方挖去了一个底面半径是3 cm、高是$(6-4)\mathrm{cm}$的圆锥。计算这个立体图形的体积,用圆柱的体积减去圆锥的体积即可,即$3^2×3.14×6-3^2×3.14×(6-4)×\frac{1}{3}=150.72(\mathrm{cm}^3)$。
