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1. 填空题。
(1)一个圆锥形容器的高是18 cm，里面装满了水，现将水全部倒入一个与它等底等高的空圆柱形容器中，圆柱形容器中水深(
(2)一个圆锥的体积比一个与它等底等高的圆柱的体积少3.2 $\mathrm{dm}^3$，那么这个圆柱的体积是(
(3)一个圆锥形沙堆，它的底面直径是6 m，高是2.5 m。用这堆沙在一条10 m宽的公路上铺2 cm厚的路面，能铺(
(1)一个圆锥形容器的高是18 cm，里面装满了水，现将水全部倒入一个与它等底等高的空圆柱形容器中，圆柱形容器中水深(
6
)cm。(2)一个圆锥的体积比一个与它等底等高的圆柱的体积少3.2 $\mathrm{dm}^3$，那么这个圆柱的体积是(
4.8
)$\mathrm{dm}^3$，这个圆锥的体积是(1.6
)$\mathrm{dm}^3$。(3)一个圆锥形沙堆，它的底面直径是6 m，高是2.5 m。用这堆沙在一条10 m宽的公路上铺2 cm厚的路面，能铺(
117.75
)m。答案
1. (1)6 (2)4.8 1.6 (3)117.75
解析 (1)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$。一个圆锥形容器的高是18 cm,用它装满水后倒入与它等底等高的圆柱形容器中,水深是$18×\frac{1}{3}=6(\mathrm{cm})$。
(2)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$,所以圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少$(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$。$3.2\ \mathrm{dm}^3$是圆柱的体积的$\frac{2}{3}$,所以圆柱的体积是$3.2÷\frac{2}{3}=4.8(\mathrm{dm}^3)$,圆锥的体积是$4.8×\frac{1}{3}=1.6(\mathrm{dm}^3)$。
(3)已知圆锥形沙堆的底面直径和高,可以求出这堆沙子的体积。把铺在公路上的沙子看作一个长方体,可以根据“长方体的长=体积÷宽÷高”求出能铺多少米路面。注意单位要统一。
解析 (1)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$。一个圆锥形容器的高是18 cm,用它装满水后倒入与它等底等高的圆柱形容器中,水深是$18×\frac{1}{3}=6(\mathrm{cm})$。
(2)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的$\frac{1}{3}$,所以圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少$(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$。$3.2\ \mathrm{dm}^3$是圆柱的体积的$\frac{2}{3}$,所以圆柱的体积是$3.2÷\frac{2}{3}=4.8(\mathrm{dm}^3)$,圆锥的体积是$4.8×\frac{1}{3}=1.6(\mathrm{dm}^3)$。
(3)已知圆锥形沙堆的底面直径和高,可以求出这堆沙子的体积。把铺在公路上的沙子看作一个长方体,可以根据“长方体的长=体积÷宽÷高”求出能铺多少米路面。注意单位要统一。
2. 如图，将一个圆锥从顶点沿高平均切成两半，表面积比原来增加了30 $\mathrm{cm}^2$，测得这个圆锥的高是6 cm。原来这个圆锥的体积是(
39.25
)$\mathrm{cm}^3$。答案
2. 39.25
解析 将圆锥从顶点沿高平均切成两半,表面积增加的部分是2个三角形的面积。三角形的底是圆锥的底面直径,高是圆锥的高。已知2个三角形的面积之和是$30\ \mathrm{cm}^2$,可以求出这个圆锥的底面直径是$30÷2×2÷6=5(\mathrm{cm})$,那么圆锥的体积是$3.14×(5÷2)^2×6×\frac{1}{3}=39.25(\mathrm{cm}^3)$。
解析 将圆锥从顶点沿高平均切成两半,表面积增加的部分是2个三角形的面积。三角形的底是圆锥的底面直径,高是圆锥的高。已知2个三角形的面积之和是$30\ \mathrm{cm}^2$,可以求出这个圆锥的底面直径是$30÷2×2÷6=5(\mathrm{cm})$,那么圆锥的体积是$3.14×(5÷2)^2×6×\frac{1}{3}=39.25(\mathrm{cm}^3)$。
3. 沙漏是我国古代的一种计量时间的仪器，它由两个完全相同的圆锥形容器组合而成。如图，这个沙漏的底面半径是5 cm，如果上面装满沙子且沙子的流速是每分钟7.85 $\mathrm{cm}^3$，那么沙子从上面全部流到下面需要多少分钟？
答案
3. $3.14×5^{2}×9×\frac{1}{3}÷7.85=30(\mathrm{分})$
解析 可以先求出沙子的体积,再除以每分钟流
下的沙子的体积,即可求出沙子从上面全部流到下面所需要的时间。根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$,可得沙子的体积是$3.14×5^{2}×9×\frac{1}{3}=235.5(\mathrm{cm}^3)$,沙子的流速是每分钟$7.85\ \mathrm{cm}^3$,那么沙子从上面全部流到下面需要的时间是$235.5÷7.85=30(\mathrm{分})$。
解析 可以先求出沙子的体积,再除以每分钟流
下的沙子的体积,即可求出沙子从上面全部流到下面所需要的时间。根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$,可得沙子的体积是$3.14×5^{2}×9×\frac{1}{3}=235.5(\mathrm{cm}^3)$,沙子的流速是每分钟$7.85\ \mathrm{cm}^3$,那么沙子从上面全部流到下面需要的时间是$235.5÷7.85=30(\mathrm{分})$。
4. 张伯伯将稻谷堆在屋子里的一角，呈$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$个圆锥形(如图)，量得这个谷堆的底面半径是2 m，高是1.2 m。如果每立方米稻谷的质量约是600 kg，那么这堆稻谷的质量约是多少千克？
答案
4. $3.14×2^{2}×1.2×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×600=753.6(\mathrm{kg})$
解析 这堆稻谷呈$\frac{1}{4}$个圆锥形,可先根据$\frac{1}{3}π r^{2}h×\frac{1}{4}$求出它的体积,即$3.14×2^{2}×1.2×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=1.256(\mathrm{m}^3)$。再根据每立方米稻谷的质量约是600 kg,可求出这堆稻谷的质量约是$1.256×600=753.6(\mathrm{kg})$。
解析 这堆稻谷呈$\frac{1}{4}$个圆锥形,可先根据$\frac{1}{3}π r^{2}h×\frac{1}{4}$求出它的体积,即$3.14×2^{2}×1.2×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=1.256(\mathrm{m}^3)$。再根据每立方米稻谷的质量约是600 kg,可求出这堆稻谷的质量约是$1.256×600=753.6(\mathrm{kg})$。
5. 如图，长方体容器内有一些纯果汁，圆锥形容器内装满了水。现将全部的水和纯果汁混合调成果汁，倒入圆柱形玻璃杯内，果汁占圆柱形玻璃杯容积的$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。原长方体容器内纯果汁的高度是多少厘米？($π$取3)
答案
5. $3×(10÷2)^{2}×18×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})÷(10×10)=2.25(\mathrm{cm})$
解析 调成的果汁占圆柱形玻璃杯容积的$\frac{1}{2}$,装满水的圆锥与圆柱等底等高,所以水的体积占圆柱形玻璃杯容积的$\frac{1}{3}$,那么纯果汁的体积占圆柱形玻璃杯容积的$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。所以纯果汁的体积是$3×(10÷2)^{2}×18×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=225(\mathrm{cm}^3)$。原长方体容器内纯果汁的高度=纯果汁的体积÷长方体容器的底面积$=225÷(10×10)=2.25(\mathrm{cm})$。
解析 调成的果汁占圆柱形玻璃杯容积的$\frac{1}{2}$,装满水的圆锥与圆柱等底等高,所以水的体积占圆柱形玻璃杯容积的$\frac{1}{3}$,那么纯果汁的体积占圆柱形玻璃杯容积的$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。所以纯果汁的体积是$3×(10÷2)^{2}×18×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=225(\mathrm{cm}^3)$。原长方体容器内纯果汁的高度=纯果汁的体积÷长方体容器的底面积$=225÷(10×10)=2.25(\mathrm{cm})$。
