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1. 下列方程是一元二次方程的是 （
A.$x + 2y = 0$
B.$\frac{1}{x + 1} - x = 0$
C.$x^2 - 5 = 0$
D.$mx^2 + 3x = 0$
C
）A.$x + 2y = 0$
B.$\frac{1}{x + 1} - x = 0$
C.$x^2 - 5 = 0$
D.$mx^2 + 3x = 0$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的四个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项的系数不为0。解题时我们就用这四个条件逐一排查每个选项，排除不符合的，剩下的就是正确答案。
【解析】
我们根据一元二次方程的判定条件逐个分析选项：
A选项：方程中含有x和y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程只含1个未知数的要求，排除；
B选项：方程的分母中含有未知数$x+1$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C选项：方程只含有x一个未知数，x的最高次数是2，是整式方程，且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义，符合要求；
D选项：当参数$m=0$时，方程变为$3x=0$，是一元一次方程，只有当$m≠0$时才是一元二次方程，因此它不一定是一元二次方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟记一元二次方程的判定条件，逐一验证每个选项，尤其要注意二次项系数含有参数的情况，必须保证二次项系数不为0才能判定为一元二次方程，避免错选。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的四个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项的系数不为0。解题时我们就用这四个条件逐一排查每个选项，排除不符合的，剩下的就是正确答案。
【解析】
我们根据一元二次方程的判定条件逐个分析选项：
A选项：方程中含有x和y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程只含1个未知数的要求，排除；
B选项：方程的分母中含有未知数$x+1$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C选项：方程只含有x一个未知数，x的最高次数是2，是整式方程，且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义，符合要求；
D选项：当参数$m=0$时，方程变为$3x=0$，是一元一次方程，只有当$m≠0$时才是一元二次方程，因此它不一定是一元二次方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟记一元二次方程的判定条件，逐一验证每个选项，尤其要注意二次项系数含有参数的情况，必须保证二次项系数不为0才能判定为一元二次方程，避免错选。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$x^2 +4x +1=0$配方后可化为 （
A.$(x-2)^2=3$
B.$(x+2)^2=3$
C.$(x+2)^2=5$
D.$(x-2)^2=5$
B
）A.$(x-2)^2=3$
B.$(x+2)^2=3$
C.$(x+2)^2=5$
D.$(x-2)^2=5$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方变形，解题思路如下：首先明确配方法的核心是将方程左侧凑成完全平方式，第一步先把不含未知数的常数项移到等号右侧；第二步根据完全平方公式的结构特征，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧整理为完全平方式，右侧合并常数后就能得到配方后的结果，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
对原方程$x^2 +4x +1=0$按步骤配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，注意移项要变号，得$x^2 +4x = -1$；
2. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得$x^2 +4x +4 = -1 +4$；
3. 整理变形：左侧可写成完全平方式，右侧合并常数项，得$(x+2)^2=3$。
对比选项可知B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查配方法的操作步骤，只要掌握移项规则、完全平方公式的结构特征，注意一次项系数的符号，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的配方变形，解题思路如下：首先明确配方法的核心是将方程左侧凑成完全平方式，第一步先把不含未知数的常数项移到等号右侧；第二步根据完全平方公式的结构特征，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧整理为完全平方式，右侧合并常数后就能得到配方后的结果，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
对原方程$x^2 +4x +1=0$按步骤配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，注意移项要变号，得$x^2 +4x = -1$；
2. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得$x^2 +4x +4 = -1 +4$；
3. 整理变形：左侧可写成完全平方式，右侧合并常数项，得$(x+2)^2=3$。
对比选项可知B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查配方法的操作步骤，只要掌握移项规则、完全平方公式的结构特征，注意一次项系数的符号，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
3. 关于$x$的一元二次方程$ax^2 - x + 1 = 0$有实数根，则$a$的取值范围是（
A.$a≤\frac{1}{4}$且$a≠0$
B.$a≤\frac{1}{4}$
C.$a≥\frac{1}{4}$且$a≠0$
D.$a≥\frac{1}{4}$
A
）A.$a≤\frac{1}{4}$且$a≠0$
B.$a≤\frac{1}{4}$
C.$a≥\frac{1}{4}$且$a≠0$
D.$a≥\frac{1}{4}$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先抓住题干中“一元二次方程”的关键前提：一是需满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；二是方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0。我们先根据这两个条件分别列出关于a的限制，再综合得到a的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
① 因为方程$ax^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即：
$a ≠ 0$
② 一元二次方程有实数根，说明根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，在本题中，$b=-1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × a × 1 ≥ 0$
计算得：$1 - 4a ≥ 0$
解不等式：$4a ≤ 1$，即$a ≤ \frac{1}{4}$
③ 综合两个条件，可得$a$的取值范围是$a ≤ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的条件，仅通过判别式求解错选B，做题时要注意审清题干的限定条件。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先抓住题干中“一元二次方程”的关键前提：一是需满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；二是方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0。我们先根据这两个条件分别列出关于a的限制，再综合得到a的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
① 因为方程$ax^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即：
$a ≠ 0$
② 一元二次方程有实数根，说明根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，在本题中，$b=-1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × a × 1 ≥ 0$
计算得：$1 - 4a ≥ 0$
解不等式：$4a ≤ 1$，即$a ≤ \frac{1}{4}$
③ 综合两个条件，可得$a$的取值范围是$a ≤ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的条件，仅通过判别式求解错选B，做题时要注意审清题干的限定条件。
【难度系数】
0.7
4. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）.有下列说法：① 若$4a+2b+c=0$，则$b^2-4ac≥0$；② 当$c=0$时，方程至少有一个根为$x=0$；③ 若方程的两根为$x_1=-1,x_2=2$，则必有$2a+c=0$成立；④ 若$a+c=0$，则方程一定有两个不相等的实数根.其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关性质，解题时需逐个验证4个结论的正确性：①可通过代入x=2判断是否为方程的根，再结合根与判别式的关系分析；②将c=0代入方程因式分解即可判断根的情况；③可利用韦达定理或代入两根到方程中推导验证；④将c=-a代入判别式，结合a≠0判断判别式的符号即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
①若$4a+2b+c=0$，将$x=2$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，左边$=a×2^2 + b×2 + c=4a+2b+c=0$，说明$x=2$是方程的实数根，因此方程存在实根，判别式$b^2-4ac≥0$，故①正确；
②当$c=0$时，方程变为$ax^2+bx=0$，提取公因式得$x(ax+b)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，因此方程至少有一个根为$x=0$，故②正确；
③已知方程两根为$x_1=-1$，$x_2=2$，根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=(-1)×2=-2$，整理得$c=-2a$，即$2a+c=0$，故③正确；
④若$a+c=0$，则$c=-a$，代入判别式得$\Delta=b^2-4ac=b^2-4a×(-a)=b^2+4a^2$，因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，又$b^2≥0$，因此$\Delta=b^2+4a^2＞0$，方程一定有两个不相等的实数根，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的意义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心性质，解题时可灵活运用代入法、韦达定理、判别式计算等方法，需要仔细推导避免判断失误，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的相关性质，解题时需逐个验证4个结论的正确性：①可通过代入x=2判断是否为方程的根，再结合根与判别式的关系分析；②将c=0代入方程因式分解即可判断根的情况；③可利用韦达定理或代入两根到方程中推导验证；④将c=-a代入判别式，结合a≠0判断判别式的符号即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
①若$4a+2b+c=0$，将$x=2$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，左边$=a×2^2 + b×2 + c=4a+2b+c=0$，说明$x=2$是方程的实数根，因此方程存在实根，判别式$b^2-4ac≥0$，故①正确；
②当$c=0$时，方程变为$ax^2+bx=0$，提取公因式得$x(ax+b)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，因此方程至少有一个根为$x=0$，故②正确；
③已知方程两根为$x_1=-1$，$x_2=2$，根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=(-1)×2=-2$，整理得$c=-2a$，即$2a+c=0$，故③正确；
④若$a+c=0$，则$c=-a$，代入判别式得$\Delta=b^2-4ac=b^2-4a×(-a)=b^2+4a^2$，因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，又$b^2≥0$，因此$\Delta=b^2+4a^2＞0$，方程一定有两个不相等的实数根，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的意义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心性质，解题时可灵活运用代入法、韦达定理、判别式计算等方法，需要仔细推导避免判断失误，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每空5分,共20分)
5. 已知$x=5$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx + 30 = 0$的一个根,则另一个根为
5. 已知$x=5$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx + 30 = 0$的一个根,则另一个根为
$x=3$
.答案
5. $x=3$
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：①利用方程根的定义：将已知根x=5代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程即可得到另一个根；②利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），两根之积等于c/a，直接通过乘积关系计算另一个根，该方法无需计算参数，更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$2x^2 - mx + 30 = 0$，二次项系数$a=2$，常数项$c=30$。
根据根与系数的关系，两根之积$x_1· x_2=\frac{c}{a}$，已知$x_1=5$，代入得：
$5x_2=\frac{30}{2}=15$
解得$x_2=3$。
方法二（代入求参法）：
将$x=5$代入原方程得：
$2×5^2 - 5m + 30 = 0$
计算得$50 - 5m + 30 = 0$，解得$m=16$。
则原方程为$2x^2 - 16x + 30 = 0$，化简为$x^2 - 8x + 15 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得方程的根为$x=3$和$x=5$，故另一个根为3。
【答案】
$x=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础考点题型，两种常规解法均可求解，熟练运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：①利用方程根的定义：将已知根x=5代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程即可得到另一个根；②利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），两根之积等于c/a，直接通过乘积关系计算另一个根，该方法无需计算参数，更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$2x^2 - mx + 30 = 0$，二次项系数$a=2$，常数项$c=30$。
根据根与系数的关系，两根之积$x_1· x_2=\frac{c}{a}$，已知$x_1=5$，代入得：
$5x_2=\frac{30}{2}=15$
解得$x_2=3$。
方法二（代入求参法）：
将$x=5$代入原方程得：
$2×5^2 - 5m + 30 = 0$
计算得$50 - 5m + 30 = 0$，解得$m=16$。
则原方程为$2x^2 - 16x + 30 = 0$，化简为$x^2 - 8x + 15 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得方程的根为$x=3$和$x=5$，故另一个根为3。
【答案】
$x=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础考点题型，两种常规解法均可求解，熟练运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6. 已知$m,n$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根，则$m+n+mn$的值是
$-2$
.答案
6. $-2$
解析
【分析】
本题已知m、n是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值，若直接解方程求根再代入计算步骤繁琐，可利用根与系数的关系简化计算。解题思路如下：第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据根与系数的关系分别求出两根之和m+n、两根之积mn的值；第三步将求得的结果代入待求代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，根据根与系数的关系可得：$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - 3x -5=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-5$，
因此$m+n=-\frac{-3}{1}=3$，$mn=\frac{-5}{1}=-5$，
代入代数式得：$m+n+mn=3+(-5)=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题考查韦达定理的基础应用，无需求解方程的具体根即可快速得出结果，解题时要注意系数的符号，避免因记错公式符号出现错误。
【难度系数】
0.8
本题已知m、n是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值，若直接解方程求根再代入计算步骤繁琐，可利用根与系数的关系简化计算。解题思路如下：第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据根与系数的关系分别求出两根之和m+n、两根之积mn的值；第三步将求得的结果代入待求代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，根据根与系数的关系可得：$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - 3x -5=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-5$，
因此$m+n=-\frac{-3}{1}=3$，$mn=\frac{-5}{1}=-5$，
代入代数式得：$m+n+mn=3+(-5)=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题考查韦达定理的基础应用，无需求解方程的具体根即可快速得出结果，解题时要注意系数的符号，避免因记错公式符号出现错误。
【难度系数】
0.8
7. 某服装原价为300元，连续两次涨价$a\%$后，售价为363元，则$a$的值为
$10$
。答案
7. $10$
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确连续增长的数量关系：原价为初始量，第一次涨价后价格为原价×(1+a%)，第二次涨价是在第一次涨价后的价格基础上再涨a%，因此两次涨价后的售价=原价×(1+a%)²。接着将已知的原价、最终售价代入关系列方程，解一元二次方程后，结合涨价率为正数的实际意义舍去不符合的根，即可得到a的值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$300(1+a\%)^2 = 363$
方程两边同时除以300，得：
$(1+a\%)^2 = 1.21$
开平方得：
$1+a\% = \pm1.1$
由于涨价率$a\%＞0$，因此$1+a\%＞1$，故舍去$1+a\%=-1.1$，仅取$1+a\%=1.1$
解得：$a\%=0.1$，即$a=10$
经检验，$a=10$符合实际题意。
【答案】
$10$
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率类的基础常考题，解题核心是准确梳理连续两次增长后的数量关系列方程，求解后要注意结合实际场景对根的合理性进行验证，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确连续增长的数量关系：原价为初始量，第一次涨价后价格为原价×(1+a%)，第二次涨价是在第一次涨价后的价格基础上再涨a%，因此两次涨价后的售价=原价×(1+a%)²。接着将已知的原价、最终售价代入关系列方程，解一元二次方程后，结合涨价率为正数的实际意义舍去不符合的根，即可得到a的值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$300(1+a\%)^2 = 363$
方程两边同时除以300，得：
$(1+a\%)^2 = 1.21$
开平方得：
$1+a\% = \pm1.1$
由于涨价率$a\%＞0$，因此$1+a\%＞1$，故舍去$1+a\%=-1.1$，仅取$1+a\%=1.1$
解得：$a\%=0.1$，即$a=10$
经检验，$a=10$符合实际题意。
【答案】
$10$
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率类的基础常考题，解题核心是准确梳理连续两次增长后的数量关系列方程，求解后要注意结合实际场景对根的合理性进行验证，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
8. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 的两个根是 $ x_1 = 1 $ 和 $ x_2 = 2 $，则方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 是“倍根方程”。则 $ a,b,c $ 之间满足
$2b^2=9ac$
的关系式时，一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 是“倍根方程”。答案
8. $2b^2=9ac$
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“倍根方程”的定义，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）推导系数关系。具体思路如下：第一步，根据倍根关系设出方程的两个根；第二步，利用韦达定理分别写出两根之和、两根之积与系数a、b、c的关系式；第三步，消去所设的根参数，化简得到a、b、c的关系式。
【解析】
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根分别为$t$和$2t$（$t$为实数）。
根据韦达定理可得：
1. 两根之和：$t+2t=-\frac{b}{a}$，即$3t=-\frac{b}{a}$，解得$t=-\frac{b}{3a}$；
2. 两根之积：$t·2t=\frac{c}{a}$，即$2t^2=\frac{c}{a}$。
将$t=-\frac{b}{3a}$代入$2t^2=\frac{c}{a}$中，得：
$2×(-\frac{b}{3a})^2=\frac{c}{a}$
化简得：$\frac{2b^2}{9a^2}=\frac{c}{a}$
两边同时乘以$9a^2$（$a≠0$，等式仍然成立），整理得$2b^2=9ac$。
【答案】
$2b^2=9ac$
【知识点】
韦达定理，新定义应用，代数式化简
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题核心是根据倍根关系设参数，再通过韦达定理消去参数得到系数关系，属于基础的知识应用型题目。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解“倍根方程”的定义，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）推导系数关系。具体思路如下：第一步，根据倍根关系设出方程的两个根；第二步，利用韦达定理分别写出两根之和、两根之积与系数a、b、c的关系式；第三步，消去所设的根参数，化简得到a、b、c的关系式。
【解析】
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根分别为$t$和$2t$（$t$为实数）。
根据韦达定理可得：
1. 两根之和：$t+2t=-\frac{b}{a}$，即$3t=-\frac{b}{a}$，解得$t=-\frac{b}{3a}$；
2. 两根之积：$t·2t=\frac{c}{a}$，即$2t^2=\frac{c}{a}$。
将$t=-\frac{b}{3a}$代入$2t^2=\frac{c}{a}$中，得：
$2×(-\frac{b}{3a})^2=\frac{c}{a}$
化简得：$\frac{2b^2}{9a^2}=\frac{c}{a}$
两边同时乘以$9a^2$（$a≠0$，等式仍然成立），整理得$2b^2=9ac$。
【答案】
$2b^2=9ac$
【知识点】
韦达定理，新定义应用，代数式化简
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题核心是根据倍根关系设参数，再通过韦达定理消去参数得到系数关系，属于基础的知识应用型题目。
【难度系数】
0.7
9. 解下列方程：
(1) $x^2 - 6x + 1 = 0$；
(2) $2x^2 + x - 2 = 0$；
(3) $2(x - 3) = x^2 - 9$。
(1) $x^2 - 6x + 1 = 0$；
(2) $2x^2 + x - 2 = 0$；
(3) $2(x - 3) = x^2 - 9$。
答案
9. (1) $x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(3) $x_1=3,x_2=-1$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(3) $x_1=3,x_2=-1$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据每个方程的结构特征选择合适的解法：
(1) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，可选用配方法或公式法求解；
(2) 方程不易因式分解，选用公式法求解，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(3) 方程右边可因式分解为平方差形式，移项后提取公因式，用因式分解法求解更简便，注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 用配方法求解：
移项，得 $x^2 - 6x = -1$，
配方，两边同时加9，得 $x^2 - 6x + 9 = -1 + 9$，即 $(x-3)^2 = 8$，
开平方，得 $x - 3 = \pm 2\sqrt{2}$，
解得 $x_1 = 3 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 2\sqrt{2}$。
(2) 用公式法求解：
这里 $a=2$，$b=1$，$c=-2$，
先计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-2) = 1 + 16 = 17 ＞ 0$，
代入求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2×2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$，
解得 $x_1 = \frac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 用因式分解法求解：
原方程变形为 $2(x-3) = (x-3)(x+3)$，
移项，得 $2(x-3) - (x-3)(x+3) = 0$，
提取公因式 $(x-3)$，得 $(x-3)[2 - (x+3)] = 0$，整理得 $(x-3)(-x-1) = 0$，
则 $x-3 = 0$ 或 $-x-1 = 0$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) $x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(3) $x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
解题时需根据方程的特点灵活选择最优解法，可有效简化计算过程；使用因式分解法时要注意先移项使方程右边为0，不要随意对等式两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据每个方程的结构特征选择合适的解法：
(1) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，可选用配方法或公式法求解；
(2) 方程不易因式分解，选用公式法求解，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(3) 方程右边可因式分解为平方差形式，移项后提取公因式，用因式分解法求解更简便，注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 用配方法求解：
移项，得 $x^2 - 6x = -1$，
配方，两边同时加9，得 $x^2 - 6x + 9 = -1 + 9$，即 $(x-3)^2 = 8$，
开平方，得 $x - 3 = \pm 2\sqrt{2}$，
解得 $x_1 = 3 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 2\sqrt{2}$。
(2) 用公式法求解：
这里 $a=2$，$b=1$，$c=-2$，
先计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-2) = 1 + 16 = 17 ＞ 0$，
代入求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2×2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$，
解得 $x_1 = \frac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 用因式分解法求解：
原方程变形为 $2(x-3) = (x-3)(x+3)$，
移项，得 $2(x-3) - (x-3)(x+3) = 0$，
提取公因式 $(x-3)$，得 $(x-3)[2 - (x+3)] = 0$，整理得 $(x-3)(-x-1) = 0$，
则 $x-3 = 0$ 或 $-x-1 = 0$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) $x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(3) $x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
解题时需根据方程的特点灵活选择最优解法，可有效简化计算过程；使用因式分解法时要注意先移项使方程右边为0，不要随意对等式两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
