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13. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.因曰：‘我亦无他，唯手熟尔.’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是直径为4 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为 (
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{π}$
D.$\frac{1}{4π}$
D
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{π}$
D.$\frac{1}{4π}$
答案
13.D
解析
【分析】
这是一道面积型几何概型的题目，解题思路是：油滴正好落入孔中的概率等于正方形孔的面积与整个铜钱（圆）的面积的比值。我们只需要分别计算出圆的面积和中间正方形的面积，再求两者的比值即可得到所求概率。
【解析】
首先计算铜钱（圆）的面积：
已知圆的直径为4cm，因此半径$r = 4÷2 = 2\mathrm{cm}$，
根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，可得$S_{\mathrm{圆}}=π×2^2=4π\ \mathrm{cm^2}$。
再计算中间正方形孔的面积：
已知正方形边长为1cm，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=a^2$（$a$为边长），可得$S_{\mathrm{正方形}}=1×1=1\ \mathrm{cm^2}$。
根据几何概型的概率公式，油滴正好落入孔中的概率$P=\frac{S_{\mathrm{正方形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{1}{4π}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
几何概型概率计算、圆的面积计算、正方形的面积计算
【点评】
本题结合传统文化背景考查概率的基础计算，只要掌握面积型几何概型的概率计算方法，正确计算对应图形的面积即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道面积型几何概型的题目，解题思路是：油滴正好落入孔中的概率等于正方形孔的面积与整个铜钱（圆）的面积的比值。我们只需要分别计算出圆的面积和中间正方形的面积，再求两者的比值即可得到所求概率。
【解析】
首先计算铜钱（圆）的面积：
已知圆的直径为4cm，因此半径$r = 4÷2 = 2\mathrm{cm}$，
根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，可得$S_{\mathrm{圆}}=π×2^2=4π\ \mathrm{cm^2}$。
再计算中间正方形孔的面积：
已知正方形边长为1cm，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=a^2$（$a$为边长），可得$S_{\mathrm{正方形}}=1×1=1\ \mathrm{cm^2}$。
根据几何概型的概率公式，油滴正好落入孔中的概率$P=\frac{S_{\mathrm{正方形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{1}{4π}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
几何概型概率计算、圆的面积计算、正方形的面积计算
【点评】
本题结合传统文化背景考查概率的基础计算，只要掌握面积型几何概型的概率计算方法，正确计算对应图形的面积即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14. 若自然数 $ n $ 使得三个数的加法运算“$ n+(n+1)+(n+2) $”产生进位现象，则称 $ n $ 为“连加进位数”.例如：2不是“连加进位数”，因为 $ 2+3+4=9 $ 不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为 $ 4+5+6=15 $ 产生进位现象；51是“连加进位数”，因为 $ 51+52+53=156 $ 产生进位现象.如果从0,1,2,…,99这100个自然数中任取1个数，那么取到“连加进位数”的概率是（
A.0.88
B.0.89
C.0.90
D.0.91
D
）A.0.88
B.0.89
C.0.90
D.0.91
答案
14.D
15. “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是:齐王有上、中、下三匹马$\mathrm{A}_1,\mathrm{B}_1,\mathrm{C}_1$,田忌也有上、中、下三匹马$\mathrm{A}_2,\mathrm{B}_2,\mathrm{C}_2$,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下:$\mathrm{A}_1＞\mathrm{A}_2＞\mathrm{B}_1＞\mathrm{B}_2＞\mathrm{C}_1＞\mathrm{C}_2$(注:$\mathrm{A}＞\mathrm{B}$表示$\mathrm{A}$马与$\mathrm{B}$马比赛,$\mathrm{A}$马获胜).一天,齐王找田忌赛马,约定:每匹马都出场比赛一局,共赛三局,胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势,田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马,并采用孙膑的策略:分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛,即借助对阵$(\mathrm{C}_2\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_2\mathrm{C}_1)$获得了整场比赛的胜利,创造了以弱胜强的经典案例.
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况,试回答以下问题:
(1) 如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”,他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利?并求其获胜的概率.
(2) 如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况,他是否必败无疑?若是,请说明理由;若不是,请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况,并求其获胜的概率.
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况,试回答以下问题:
(1) 如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”,他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利?并求其获胜的概率.
(2) 如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况,他是否必败无疑?若是,请说明理由;若不是,请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况,并求其获胜的概率.
答案
15.(1) 田忌首局应出“下马”才可能获胜,此时,比赛所有可能的对阵为:($A_1C_2,B_1A_2$,$C_1B_2$),($A_1C_2,C_1B_2,B_1A_2$),($A_1C_2,B_1B_2,C_1A_2$),($A_1C_2,C_1A_2,B_1B_2$),共四种,其中获胜的有两场,故此田忌获胜的概率为$P=\frac{1}{2}$
(2) 不是.当齐王的出马顺序为$A_1,B_1,C_1$时,田忌获胜的对阵是:($A_1C_2$,$B_1A_2,C_1B_2$).当齐王的出马顺序为$A_1,C_1,B_1$时,田忌获胜的对阵是:($A_1C_2,C_1B_2,B_1A_2$).当齐王的出马顺序为$B_1,A_1,C_1$时,田忌获胜的对阵是:($B_1A_2,A_1C_2,C_1B_2$).当齐王的出马顺序为$B_1,C_1,A_1$时,田忌获胜的对阵是:($B_1A_2,C_1B_2,A_1C_2$).当齐王的出马顺序为$C_1,A_1,B_1$时,田忌获胜的对阵是:($C_1B_2,A_1C_2$,$B_1A_2$).当齐王的出马顺序为$C_1,B_1,A_1$时,田忌获胜的对阵是:($C_1B_2,B_1A_2,A_1C_2$).综上所述,田忌获胜的对阵有6种,不论齐王的出马顺序如何,也都有相应的6种可能对阵,所以田忌获胜的概率为$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
(2) 不是.当齐王的出马顺序为$A_1,B_1,C_1$时,田忌获胜的对阵是:($A_1C_2$,$B_1A_2,C_1B_2$).当齐王的出马顺序为$A_1,C_1,B_1$时,田忌获胜的对阵是:($A_1C_2,C_1B_2,B_1A_2$).当齐王的出马顺序为$B_1,A_1,C_1$时,田忌获胜的对阵是:($B_1A_2,A_1C_2,C_1B_2$).当齐王的出马顺序为$B_1,C_1,A_1$时,田忌获胜的对阵是:($B_1A_2,C_1B_2,A_1C_2$).当齐王的出马顺序为$C_1,A_1,B_1$时,田忌获胜的对阵是:($C_1B_2,A_1C_2$,$B_1A_2$).当齐王的出马顺序为$C_1,B_1,A_1$时,田忌获胜的对阵是:($C_1B_2,B_1A_2,A_1C_2$).综上所述,田忌获胜的对阵有6种,不论齐王的出马顺序如何,也都有相应的6种可能对阵,所以田忌获胜的概率为$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
解析
【分析】
(1) 首先根据已知的马匹胜负关系可知，齐王首局出最快的上马$\mathrm{A}_1$，田忌首局无论出哪匹马都会输掉第一局，因此要赢整场比赛必须后两局全胜。分别验证田忌首局出三种马的情况：若首局出上马或中马，剩余马匹的速度不足以赢下后两局；仅首局出下马$\mathrm{C}_2$时，剩余的$\mathrm{A}_2$、$\mathrm{B}_2$可分别赢齐王剩下的$\mathrm{B}_1$、$\mathrm{C}_1$，才有获胜可能。之后列举剩余两局的所有对阵情况，统计获胜的情况数即可计算概率。
(2) 先计算所有对阵的总数：齐王和田忌的出马顺序各有6种，总共有36种对阵情况。再分析田忌获胜的必要条件：只能用下马$\mathrm{C}_2$对阵齐王的$\mathrm{A}_1$（输1局），用$\mathrm{A}_2$对阵$\mathrm{B}_1$、$\mathrm{B}_2$对阵$\mathrm{C}_1$（赢2局），针对齐王的每一种出马顺序，仅存在1种对应的田忌出马顺序能满足该获胜条件，统计所有获胜对阵数后即可求概率。
【解析】
(1) 由马匹胜负关系$\mathrm{A}_1＞\mathrm{A}_2＞\mathrm{B}_1＞\mathrm{B}_2＞\mathrm{C}_1＞\mathrm{C}_2$得，齐王首局出$\mathrm{A}_1$时，田忌首局任何马对阵$\mathrm{A}_1$都会失败，要获得整场胜利需要后两局全胜：
若田忌首局出$\mathrm{A}_2$或$\mathrm{B}_2$，剩余马匹的最高速度低于齐王剩余的$\mathrm{B}_1$，无法实现后两局全胜，因此田忌首局只能出下马$\mathrm{C}_2$。
首局确定为$\mathrm{A}_1$对阵$\mathrm{C}_2$后，齐王剩余两局的出马顺序有2种，田忌剩余两局的出马顺序有2种，共4种可能的对阵：
$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2)$、$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2)$、$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2)$、$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2)$
其中获胜的对阵有2种，因此获胜概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 田忌不是必败无疑：
所有可能的对阵总数：齐王的出马顺序共$3×2×1=6$种，田忌的出马顺序也有6种，总对阵数为$6×6=36$种。
田忌获胜的唯一方式为：用$\mathrm{C}_2$对阵$\mathrm{A}_1$（输1局），$\mathrm{A}_2$对阵$\mathrm{B}_1$、$\mathrm{B}_2$对阵$\mathrm{C}_1$（赢2局），对应齐王的每一种出马顺序，田忌获胜的对阵如下：
1. 齐王出马顺序$\mathrm{A}_1,\mathrm{B}_1,\mathrm{C}_1$：$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2)$
2. 齐王出马顺序$\mathrm{A}_1,\mathrm{C}_1,\mathrm{B}_1$：$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2)$
3. 齐王出马顺序$\mathrm{B}_1,\mathrm{A}_1,\mathrm{C}_1$：$(\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2)$
4. 齐王出马顺序$\mathrm{B}_1,\mathrm{C}_1,\mathrm{A}_1$：$(\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2)$
5. 齐王出马顺序$\mathrm{C}_1,\mathrm{A}_1,\mathrm{B}_1$：$(\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2)$
6. 齐王出马顺序$\mathrm{C}_1,\mathrm{B}_1,\mathrm{A}_1$：$(\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2)$
共6种获胜对阵，因此获胜概率$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 田忌首局应出下马才可能获得整场比赛的胜利，获胜概率为$\frac{1}{2}$；
(2) 不是必败无疑，田忌获胜的所有对阵见解析，获胜概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
枚举法求概率，逻辑推理，简单排列
【点评】
本题以经典历史故事为载体，将概率计算和逻辑推理相结合，既考查了用枚举法统计事件数求概率的基础技能，又需要结合给定的胜负规则筛选符合要求的情况，兼具趣味性和探究性，能有效锻炼学生的分析和解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据已知的马匹胜负关系可知，齐王首局出最快的上马$\mathrm{A}_1$，田忌首局无论出哪匹马都会输掉第一局，因此要赢整场比赛必须后两局全胜。分别验证田忌首局出三种马的情况：若首局出上马或中马，剩余马匹的速度不足以赢下后两局；仅首局出下马$\mathrm{C}_2$时，剩余的$\mathrm{A}_2$、$\mathrm{B}_2$可分别赢齐王剩下的$\mathrm{B}_1$、$\mathrm{C}_1$，才有获胜可能。之后列举剩余两局的所有对阵情况，统计获胜的情况数即可计算概率。
(2) 先计算所有对阵的总数：齐王和田忌的出马顺序各有6种，总共有36种对阵情况。再分析田忌获胜的必要条件：只能用下马$\mathrm{C}_2$对阵齐王的$\mathrm{A}_1$（输1局），用$\mathrm{A}_2$对阵$\mathrm{B}_1$、$\mathrm{B}_2$对阵$\mathrm{C}_1$（赢2局），针对齐王的每一种出马顺序，仅存在1种对应的田忌出马顺序能满足该获胜条件，统计所有获胜对阵数后即可求概率。
【解析】
(1) 由马匹胜负关系$\mathrm{A}_1＞\mathrm{A}_2＞\mathrm{B}_1＞\mathrm{B}_2＞\mathrm{C}_1＞\mathrm{C}_2$得，齐王首局出$\mathrm{A}_1$时，田忌首局任何马对阵$\mathrm{A}_1$都会失败，要获得整场胜利需要后两局全胜：
若田忌首局出$\mathrm{A}_2$或$\mathrm{B}_2$，剩余马匹的最高速度低于齐王剩余的$\mathrm{B}_1$，无法实现后两局全胜，因此田忌首局只能出下马$\mathrm{C}_2$。
首局确定为$\mathrm{A}_1$对阵$\mathrm{C}_2$后，齐王剩余两局的出马顺序有2种，田忌剩余两局的出马顺序有2种，共4种可能的对阵：
$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2)$、$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2)$、$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2)$、$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2)$
其中获胜的对阵有2种，因此获胜概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 田忌不是必败无疑：
所有可能的对阵总数：齐王的出马顺序共$3×2×1=6$种，田忌的出马顺序也有6种，总对阵数为$6×6=36$种。
田忌获胜的唯一方式为：用$\mathrm{C}_2$对阵$\mathrm{A}_1$（输1局），$\mathrm{A}_2$对阵$\mathrm{B}_1$、$\mathrm{B}_2$对阵$\mathrm{C}_1$（赢2局），对应齐王的每一种出马顺序，田忌获胜的对阵如下：
1. 齐王出马顺序$\mathrm{A}_1,\mathrm{B}_1,\mathrm{C}_1$：$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2)$
2. 齐王出马顺序$\mathrm{A}_1,\mathrm{C}_1,\mathrm{B}_1$：$(\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2)$
3. 齐王出马顺序$\mathrm{B}_1,\mathrm{A}_1,\mathrm{C}_1$：$(\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2)$
4. 齐王出马顺序$\mathrm{B}_1,\mathrm{C}_1,\mathrm{A}_1$：$(\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2)$
5. 齐王出马顺序$\mathrm{C}_1,\mathrm{A}_1,\mathrm{B}_1$：$(\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2)$
6. 齐王出马顺序$\mathrm{C}_1,\mathrm{B}_1,\mathrm{A}_1$：$(\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_1\mathrm{C}_2)$
共6种获胜对阵，因此获胜概率$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 田忌首局应出下马才可能获得整场比赛的胜利，获胜概率为$\frac{1}{2}$；
(2) 不是必败无疑，田忌获胜的所有对阵见解析，获胜概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
枚举法求概率，逻辑推理，简单排列
【点评】
本题以经典历史故事为载体，将概率计算和逻辑推理相结合，既考查了用枚举法统计事件数求概率的基础技能，又需要结合给定的胜负规则筛选符合要求的情况，兼具趣味性和探究性，能有效锻炼学生的分析和解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
