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10. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数－2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数－5，－2，5.小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b.
（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果.
（2）若$a＜b$，小明胜；若$a=b$，为平局；若$a＞b$，小刚胜.此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由.
（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果.
（2）若$a＜b$，小明胜；若$a=b$，为平局；若$a＞b$，小刚胜.此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由.
答案
10.(1) 树状图如下：
此游戏共有6种结果 (2) 不公平.理由如下:根据树状图可知:a＜b共有2种结果,a＞b共有3种结果，
∴小明胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,小刚胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,小刚胜的概率大.
∴游戏的规则对双方不公平
解析
【分析】
（1）本次摸球是两步随机试验：第一步从甲口袋取球，有2种等可能结果，第二步从乙口袋取球，有3种等可能结果，可通过画树状图的方法有序列举所有结果，注意避免漏记、重复记录。
（2）判断游戏是否公平的核心是对比小明和小刚的获胜概率是否相等。先从所有等可能结果中分别找出$a＜b$、$a＞b$的结果数，再根据概率公式计算两人的获胜概率，若概率相等则规则公平，否则不公平。
【解析】
（1）画树状图：第一层为从甲口袋取出的$a$的取值，分为$-2$、$2$两个分支；第二层为从乙口袋取出的$b$的取值，每个$a$的分支下都对应$-5$、$-2$、$5$三个分支。
由树状图可得所有等可能结果为：$(-2,-5)、(-2,-2)、(-2,5)、(2,-5)、(2,-2)、(2,5)$，共6种。
（2）对6种结果逐一判断胜负：
$a=-2,b=-5$时，$a＞b$，小刚胜；
$a=-2,b=-2$时，$a=b$，平局；
$a=-2,b=5$时，$a＜b$，小明胜；
$a=2,b=-5$时，$a＞b$，小刚胜；
$a=2,b=-2$时，$a＞b$，小刚胜；
$a=2,b=5$时，$a＜b$，小明胜。
可得$a＜b$的结果共2种，$a＞b$的结果共3种，
因此$P(小明胜)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$P(小刚胜)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$，小刚获胜概率更大，所以游戏规则不公平。
【答案】
(1) 树状图如下：
此游戏共有6种结果
(2) 不公平.理由如下:根据树状图可知:a＜b共有2种结果,a＞b共有3种结果，
∴小明胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,小刚胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,小刚胜的概率大.
∴游戏的规则对双方不公平
【知识点】
树状图法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率基础应用题，解题关键是掌握用树状图有序列举所有等可能结果，结合概率公式计算对应事件的概率，要注意判断游戏公平性的核心是对比双方获胜概率是否相等，不要混淆平局的情况。
【难度系数】
0.7
（1）本次摸球是两步随机试验：第一步从甲口袋取球，有2种等可能结果，第二步从乙口袋取球，有3种等可能结果，可通过画树状图的方法有序列举所有结果，注意避免漏记、重复记录。
（2）判断游戏是否公平的核心是对比小明和小刚的获胜概率是否相等。先从所有等可能结果中分别找出$a＜b$、$a＞b$的结果数，再根据概率公式计算两人的获胜概率，若概率相等则规则公平，否则不公平。
【解析】
（1）画树状图：第一层为从甲口袋取出的$a$的取值，分为$-2$、$2$两个分支；第二层为从乙口袋取出的$b$的取值，每个$a$的分支下都对应$-5$、$-2$、$5$三个分支。
由树状图可得所有等可能结果为：$(-2,-5)、(-2,-2)、(-2,5)、(2,-5)、(2,-2)、(2,5)$，共6种。
（2）对6种结果逐一判断胜负：
$a=-2,b=-5$时，$a＞b$，小刚胜；
$a=-2,b=-2$时，$a=b$，平局；
$a=-2,b=5$时，$a＜b$，小明胜；
$a=2,b=-5$时，$a＞b$，小刚胜；
$a=2,b=-2$时，$a＞b$，小刚胜；
$a=2,b=5$时，$a＜b$，小明胜。
可得$a＜b$的结果共2种，$a＞b$的结果共3种，
因此$P(小明胜)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$P(小刚胜)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$，小刚获胜概率更大，所以游戏规则不公平。
【答案】
(1) 树状图如下：
此游戏共有6种结果
(2) 不公平.理由如下:根据树状图可知:a＜b共有2种结果,a＞b共有3种结果，
∴小明胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,小刚胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,小刚胜的概率大.
∴游戏的规则对双方不公平
【知识点】
树状图法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率基础应用题，解题关键是掌握用树状图有序列举所有等可能结果，结合概率公式计算对应事件的概率，要注意判断游戏公平性的核心是对比双方获胜概率是否相等，不要混淆平局的情况。
【难度系数】
0.7
11. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为$\frac{2}{3}$。
（1）求袋子中白球的个数（请通过列式或列方程解答）；
（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率（请结合树状图或列表解答）。
（1）求袋子中白球的个数（请通过列式或列方程解答）；
（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率（请结合树状图或列表解答）。
答案
11.(1) 设白球有x个,则可得$\frac{x}{1+x}=\frac{2}{3}$,解得$x=2$.经检验$x=2$为原方程的解,即白球有2个 (2) 画树状图得：
共有6种等可能的结果数,其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2,所以两次都摸到相同颜色的小球的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
（1）解题时利用概率的基本公式：某事件发生的概率=该事件对应的样本数÷总样本数。本题中摸到白球的概率已知，红球数量为1个，设白球数量为x，总球数就是x+1，代入概率公式即可列分式方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
（2）第二问是不放回的两次摸球概率问题，先由第一问结论得到袋中有2个白球、1个红球，通过树状图可以不重不漏地列出所有等可能的摸球结果，再筛选出两次颜色相同的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率，注意不放回摸球时第二次摸球的可选数量比第一次少1。
【解析】
（1）设袋子中白球的个数为$x$，则袋子中球的总个数为$x+1$。
根据摸到白球的概率为$\frac{2}{3}$，列方程得：
$\frac{x}{x+1}=\frac{2}{3}$
去分母得：$3x=2(x+1)$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x+1=3≠0$，所以$x=2$是原方程的解，且符合实际情况。
（2）由（1）可知袋中有2个白球，1个红球，根据题意画树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共有6种，其中两次摸到相同颜色的小球的结果有2种（均为摸到两次白球），因此所求概率为：
$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 设白球有x个,则可得$\frac{x}{1+x}=\frac{2}{3}$,解得$x=2$.经检验$x=2$为原方程的解,即白球有2个
(2) 画树状图得：
共有6种等可能的结果数,其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2,所以两次都摸到相同颜色的小球的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，分式方程的应用
【点评】
本题属于概率基础综合题，第一问将概率计算和分式方程结合考查，注意分式方程必须验根；第二问考查不放回试验的概率求解，借助树状图或列表法可以清晰梳理所有情况，避免出错，是概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.75
（1）解题时利用概率的基本公式：某事件发生的概率=该事件对应的样本数÷总样本数。本题中摸到白球的概率已知，红球数量为1个，设白球数量为x，总球数就是x+1，代入概率公式即可列分式方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
（2）第二问是不放回的两次摸球概率问题，先由第一问结论得到袋中有2个白球、1个红球，通过树状图可以不重不漏地列出所有等可能的摸球结果，再筛选出两次颜色相同的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率，注意不放回摸球时第二次摸球的可选数量比第一次少1。
【解析】
（1）设袋子中白球的个数为$x$，则袋子中球的总个数为$x+1$。
根据摸到白球的概率为$\frac{2}{3}$，列方程得：
$\frac{x}{x+1}=\frac{2}{3}$
去分母得：$3x=2(x+1)$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x+1=3≠0$，所以$x=2$是原方程的解，且符合实际情况。
（2）由（1）可知袋中有2个白球，1个红球，根据题意画树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共有6种，其中两次摸到相同颜色的小球的结果有2种（均为摸到两次白球），因此所求概率为：
$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 设白球有x个,则可得$\frac{x}{1+x}=\frac{2}{3}$,解得$x=2$.经检验$x=2$为原方程的解,即白球有2个
(2) 画树状图得：
共有6种等可能的结果数,其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2,所以两次都摸到相同颜色的小球的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，分式方程的应用
【点评】
本题属于概率基础综合题，第一问将概率计算和分式方程结合考查，注意分式方程必须验根；第二问考查不放回试验的概率求解，借助树状图或列表法可以清晰梳理所有情况，避免出错，是概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.75
12. 某商场举行开业酬宾活动，设立了如图所示的两个可以自由转动的转盘（两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠。已知小张在该商场消费300元。
（1）若小张选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算？请通过计算加以说明。
（1）若小张选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算？请通过计算加以说明。
答案
12.(1)
∵整个圆被分成了12个扇形,其中有6个扇形能享受优惠,
∴$P(得到优惠)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
(2) 转盘1能获得的优惠平均为$\frac{0.3×300+0.2×300×2+0.1×300×3}{12}=25$(元),转动转盘2,则能得到优惠的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴转盘2能获得的优惠平均为$40×\frac{1}{2}=20$(元).
∵25＞20,
∴选择转动转盘1更优惠
∵整个圆被分成了12个扇形,其中有6个扇形能享受优惠,
∴$P(得到优惠)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
(2) 转盘1能获得的优惠平均为$\frac{0.3×300+0.2×300×2+0.1×300×3}{12}=25$(元),转动转盘2,则能得到优惠的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴转盘2能获得的优惠平均为$40×\frac{1}{2}=20$(元).
∵25＞20,
∴选择转动转盘1更优惠
解析
【分析】
（1）求转动转盘1获得优惠的概率属于古典概率问题，先明确转盘1所有等可能的结果总数，再统计出能获得优惠的结果数量，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求解。
（2）要判断哪种转盘更合算，需分别计算两个转盘转动一次的平均优惠金额再比较大小：先计算转盘1中不同折扣对应的优惠总额，除以总份数得到平均优惠；再计算转盘2的平均优惠，对比两个数值即可得出最优方案。
【解析】
（1）转盘1被等分为12个扇形，转动转盘1共有12种等可能的结果；
其中标注优惠的扇形共6个（七折1个、八折2个、九折3个），即得到优惠的结果有6种，
因此$P(得到优惠)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
（2）分别计算两个转盘的平均优惠：
① 转动转盘1的平均优惠：
七折对应优惠：$300×(1-0.7)=90$元，
2个八折对应总优惠：$2×300×(1-0.8)=120$元，
3个九折对应总优惠：$3×300×(1-0.9)=90$元，
平均优惠为$\frac{90+120+90}{12}=25$元；
② 转动转盘2的平均优惠：
转盘2被等分为4个扇形，其中2个扇形为现金40元优惠，获得40元优惠的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
因此平均优惠为$40×\frac{1}{2}=20$元。
因为$25＞20$，所以选择转动转盘1更合算。
【答案】
（1）$\frac{1}{2}$；
（2）选择转动转盘1更合算。
【知识点】
概率计算，加权平均数，方案选择
【点评】
本题以生活中常见的商场促销活动为载体，将概率知识与实际应用结合，解题的核心是正确理解概率的含义，准确计算两种方案的平均优惠，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求转动转盘1获得优惠的概率属于古典概率问题，先明确转盘1所有等可能的结果总数，再统计出能获得优惠的结果数量，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求解。
（2）要判断哪种转盘更合算，需分别计算两个转盘转动一次的平均优惠金额再比较大小：先计算转盘1中不同折扣对应的优惠总额，除以总份数得到平均优惠；再计算转盘2的平均优惠，对比两个数值即可得出最优方案。
【解析】
（1）转盘1被等分为12个扇形，转动转盘1共有12种等可能的结果；
其中标注优惠的扇形共6个（七折1个、八折2个、九折3个），即得到优惠的结果有6种，
因此$P(得到优惠)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
（2）分别计算两个转盘的平均优惠：
① 转动转盘1的平均优惠：
七折对应优惠：$300×(1-0.7)=90$元，
2个八折对应总优惠：$2×300×(1-0.8)=120$元，
3个九折对应总优惠：$3×300×(1-0.9)=90$元，
平均优惠为$\frac{90+120+90}{12}=25$元；
② 转动转盘2的平均优惠：
转盘2被等分为4个扇形，其中2个扇形为现金40元优惠，获得40元优惠的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
因此平均优惠为$40×\frac{1}{2}=20$元。
因为$25＞20$，所以选择转动转盘1更合算。
【答案】
（1）$\frac{1}{2}$；
（2）选择转动转盘1更合算。
【知识点】
概率计算，加权平均数，方案选择
【点评】
本题以生活中常见的商场促销活动为载体，将概率知识与实际应用结合，解题的核心是正确理解概率的含义，准确计算两种方案的平均优惠，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
