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活动一:读一读 说一说
阅读课本第145页的“问题”,回答下列问题.
（1）金额是加油量的函数吗？油箱中的油量是加油时间的函数吗？为什么？如果是,写出函数表达式.
（2）说说(1)中的两个函数表达式有什么共同点？
（3）请你总结判别一次函数的关键是什么.
活动二:想一想 试一试
（1）说一说一次函数与正比例函数的联系和区别；
（2）请举出一个是一次函数、但不是正比例函数的实例.
阅读课本第145页的“问题”,回答下列问题.
（1）金额是加油量的函数吗？油箱中的油量是加油时间的函数吗？为什么？如果是,写出函数表达式.
（2）说说(1)中的两个函数表达式有什么共同点？
（3）请你总结判别一次函数的关键是什么.
活动二:想一想 试一试
（1）说一说一次函数与正比例函数的联系和区别；
（2）请举出一个是一次函数、但不是正比例函数的实例.
答案
活动一:(1) 金额是加油油量的函数,对于每一个加油量,金额都有唯一的值与它对应;油箱中的油量是加油时间的函数,对于每一个加油时间,油箱中的油量都有唯一的值与它对应
（2）略
（3）略
活动二:(1) 联系:正比例函数都是一次函数;区别:一次函数不一定是正比例函数
（2）略
（2）略
（3）略
活动二:(1) 联系:正比例函数都是一次函数;区别:一次函数不一定是正比例函数
（2）略
解析
【分析】
本题围绕函数、一次函数、正比例函数的基础概念设置，解题思路如下：首先回忆函数的定义，依据“一个自变量对应唯一因变量”的特征判断两个变量是否为函数关系；再结合一次函数的形式特征，总结一次函数的判别要点；最后对比一次函数和正比例函数的定义，梳理二者的联系和区别，结合生活场景举例即可。
【解析】
活动一
(1) 根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，若其中一个变量取任意一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，则后者是前者的函数。
① 加油过程中油价固定，给定一个加油量，都能算出唯一对应的付款金额，因此金额是加油量的函数。若设油价为$k$元/升（$k$为正的常数），加油量为$x$升，金额为$y$元，函数表达式为$y=kx\ (x≥0)$。
② 加油时出油速度固定，给定一个加油时间，都能算出唯一对应的油箱油量，因此油箱中的油量是加油时间的函数。若设加油速度为$a$升/分钟（$a$为正的常数），油箱原有油量为$b$升（$b$为非负常数），加油时间为$t$分钟，油箱油量为$Q$升，函数表达式为$Q=at+b\ (t≥0)$。
(2) 两个函数表达式的共同点：两个式子等号右侧都是自变量的一次整式，自变量的最高次数为1，且自变量的系数都不为0，都属于一次函数。
(3) 判别一次函数的关键：函数解析式是整式，且能整理为$y=kx+b$的形式，其中$k、b$为常数，且$k≠0$。
活动二
(1) 联系：正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数$y=kx+b$中的常数项$b=0$时，就是正比例函数，因此所有正比例函数都属于一次函数。
区别：一次函数的常数项$b$可以不为0，当$b≠0$时，该一次函数不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数。
(2) 实例：超市售卖的矿泉水每瓶2元，购物袋每个0.5元，购买矿泉水的总花费$y$（元）和购买矿泉水的数量$x$（瓶）的关系为$y=2x+0.5$，这个函数是一次函数，但不是正比例函数。（符合$y=kx+b,k≠0,b≠0$即可）
【答案】
活动一:
(1) 金额是加油油量的函数，对于每一个加油量，金额都有唯一的值与它对应；油箱中的油量是加油时间的函数，对于每一个加油时间，油箱中的油量都有唯一的值与它对应
（2）答案合理即可
（3）答案合理即可
活动二:
(1) 联系:正比例函数都是一次函数;区别:一次函数不一定是正比例函数
（2）答案合理即可
【知识点】
函数的概念、一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题立足基础概念，结合生活场景设问，能有效考查对函数、一次函数、正比例函数概念的理解，以及辨析易混淆知识点的能力，有助于夯实函数的入门基础。
【难度系数】
0.8
本题围绕函数、一次函数、正比例函数的基础概念设置，解题思路如下：首先回忆函数的定义，依据“一个自变量对应唯一因变量”的特征判断两个变量是否为函数关系；再结合一次函数的形式特征，总结一次函数的判别要点；最后对比一次函数和正比例函数的定义，梳理二者的联系和区别，结合生活场景举例即可。
【解析】
活动一
(1) 根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，若其中一个变量取任意一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，则后者是前者的函数。
① 加油过程中油价固定，给定一个加油量，都能算出唯一对应的付款金额，因此金额是加油量的函数。若设油价为$k$元/升（$k$为正的常数），加油量为$x$升，金额为$y$元，函数表达式为$y=kx\ (x≥0)$。
② 加油时出油速度固定，给定一个加油时间，都能算出唯一对应的油箱油量，因此油箱中的油量是加油时间的函数。若设加油速度为$a$升/分钟（$a$为正的常数），油箱原有油量为$b$升（$b$为非负常数），加油时间为$t$分钟，油箱油量为$Q$升，函数表达式为$Q=at+b\ (t≥0)$。
(2) 两个函数表达式的共同点：两个式子等号右侧都是自变量的一次整式，自变量的最高次数为1，且自变量的系数都不为0，都属于一次函数。
(3) 判别一次函数的关键：函数解析式是整式，且能整理为$y=kx+b$的形式，其中$k、b$为常数，且$k≠0$。
活动二
(1) 联系：正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数$y=kx+b$中的常数项$b=0$时，就是正比例函数，因此所有正比例函数都属于一次函数。
区别：一次函数的常数项$b$可以不为0，当$b≠0$时，该一次函数不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数。
(2) 实例：超市售卖的矿泉水每瓶2元，购物袋每个0.5元，购买矿泉水的总花费$y$（元）和购买矿泉水的数量$x$（瓶）的关系为$y=2x+0.5$，这个函数是一次函数，但不是正比例函数。（符合$y=kx+b,k≠0,b≠0$即可）
【答案】
活动一:
(1) 金额是加油油量的函数，对于每一个加油量，金额都有唯一的值与它对应；油箱中的油量是加油时间的函数，对于每一个加油时间，油箱中的油量都有唯一的值与它对应
（2）答案合理即可
（3）答案合理即可
活动二:
(1) 联系:正比例函数都是一次函数;区别:一次函数不一定是正比例函数
（2）答案合理即可
【知识点】
函数的概念、一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题立足基础概念，结合生活场景设问，能有效考查对函数、一次函数、正比例函数概念的理解，以及辨析易混淆知识点的能力，有助于夯实函数的入门基础。
【难度系数】
0.8
1. 有下列函数:① $y=kx+b(k,b$ 为常数$)$;② $y=2x$;③ $y=\frac{3}{x}$;④ $y=\frac{1}{3}x+3$;⑤ $y=x^2-2x+1$。
1. 其中，属于一次函数的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 其中，属于一次函数的有 （
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要判断哪些是一次函数，首先需明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，且$k≠0$）的函数是一次函数，其中正比例函数$y=kx(k≠0)$是特殊的一次函数。解题时我们需要逐个对照定义判断每个函数，注意排除不符合的类型：若自变量最高次不是1、自变量在分母中、一次项系数为0的都不属于一次函数。
【解析】
首先明确一次函数的判定标准：1. 自变量$x$的最高次数为1；2. 一次项系数不为0；3. 表达式为整式。
对5个函数逐一判断：
① $y=kx+b$：题目未说明$k≠0$，当$k=0$时函数变为常函数，不符合一次函数要求，故①不属于；
② $y=2x$：符合$y=kx$（$k=2≠0$），是正比例函数，属于特殊的一次函数，故②属于；
③ $y=\frac{3}{x}$：自变量$x$在分母中，是反比例函数，不符合一次函数要求，故③不属于；
④ $y=\frac{1}{3}x+3$：符合$y=kx+b$（$k=\frac{1}{3}≠0$，$x$次数为1），属于一次函数，故④属于；
⑤ $y=x^2-2x+1$：自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数要求，故⑤不属于。
综上，属于一次函数的是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的特征，函数类型判断
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一次函数定义的掌握程度，解题的易错点是忽略一次项系数不为0的限制条件，以及混淆不同类型函数的表达式特征。
【难度系数】
0.7
要判断哪些是一次函数，首先需明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，且$k≠0$）的函数是一次函数，其中正比例函数$y=kx(k≠0)$是特殊的一次函数。解题时我们需要逐个对照定义判断每个函数，注意排除不符合的类型：若自变量最高次不是1、自变量在分母中、一次项系数为0的都不属于一次函数。
【解析】
首先明确一次函数的判定标准：1. 自变量$x$的最高次数为1；2. 一次项系数不为0；3. 表达式为整式。
对5个函数逐一判断：
① $y=kx+b$：题目未说明$k≠0$，当$k=0$时函数变为常函数，不符合一次函数要求，故①不属于；
② $y=2x$：符合$y=kx$（$k=2≠0$），是正比例函数，属于特殊的一次函数，故②属于；
③ $y=\frac{3}{x}$：自变量$x$在分母中，是反比例函数，不符合一次函数要求，故③不属于；
④ $y=\frac{1}{3}x+3$：符合$y=kx+b$（$k=\frac{1}{3}≠0$，$x$次数为1），属于一次函数，故④属于；
⑤ $y=x^2-2x+1$：自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数要求，故⑤不属于。
综上，属于一次函数的是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的特征，函数类型判断
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一次函数定义的掌握程度，解题的易错点是忽略一次项系数不为0的限制条件，以及混淆不同类型函数的表达式特征。
【难度系数】
0.7
2. 已知函数$y=2x^{m-3}+5$是一次函数，则$m$的值为
4
。答案
4
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），核心要求是自变量$x$的次数为1，且一次项系数不为0。结合题目给出的函数，我们只需要让$x$的指数等于1，再解方程即可得到$m$的值，本题中一次项系数是2，已经满足不为0的要求，无需额外验证系数。
【解析】
根据一次函数的定义，自变量$x$的次数为1，可得：
$m - 3 = 1$
解方程得：
$m = 1 + 3 = 4$
此时一次项系数为$2≠0$，符合一次函数的要求。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题是对一次函数基本概念的基础考查，解题的核心是牢记一次函数中自变量的次数为1、一次项系数不为0的要求，掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），核心要求是自变量$x$的次数为1，且一次项系数不为0。结合题目给出的函数，我们只需要让$x$的指数等于1，再解方程即可得到$m$的值，本题中一次项系数是2，已经满足不为0的要求，无需额外验证系数。
【解析】
根据一次函数的定义，自变量$x$的次数为1，可得：
$m - 3 = 1$
解方程得：
$m = 1 + 3 = 4$
此时一次项系数为$2≠0$，符合一次函数的要求。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题是对一次函数基本概念的基础考查，解题的核心是牢记一次函数中自变量的次数为1、一次项系数不为0的要求，掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数.
（1）面积为10的三角形的底a与底边上的高h之间的关系；
（2）一条边长为8的长方形的周长C与它的邻边b之间的关系；
（3）汽车每小时行驶40 km，行驶的路程s km和时间t h之间的关系.
（1）面积为10的三角形的底a与底边上的高h之间的关系；
（2）一条边长为8的长方形的周长C与它的邻边b之间的关系；
（3）汽车每小时行驶40 km，行驶的路程s km和时间t h之间的关系.
答案
（1）由$\frac{1}{2}ah=10$,可得$a=\frac{20}{h}$,不是一次函数,不是正比例函数
（2）由$2(8+b)=C$,可得$C=2b+16$,是一次函数,不是正比例函数
（3）$s=40t$,是一次函数,也是正比例函数
（2）由$2(8+b)=C$,可得$C=2b+16$,是一次函数,不是正比例函数
（3）$s=40t$,是一次函数,也是正比例函数
解析
【分析】
解题时首先根据每个小问对应的实际数量关系列出等式，再将等式变形为用自变量表示因变量的函数表达式；随后回忆一次函数、正比例函数的定义：一次函数是形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$）的函数，正比例函数是形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数（正比例函数是特殊的一次函数），最后将得到的函数表达式和定义对照判断即可。
【解析】
（1）根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，已知面积$S=10$，代入得$\frac{1}{2}ah=10$，变形可得$a=\frac{20}{h}$，该函数不符合一次函数的形式，因此不是一次函数，也不是正比例函数。
（2）根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知一条边长为8，邻边长为$b$，代入得$C=2(8+b)$，整理得$C=2b+16$，该函数符合一次函数的形式，常数项不为0，因此是一次函数，不是正比例函数。
（3）根据路程公式$s=vt$，已知速度$v=40\mathrm{km/h}$，代入得$s=40t$，该函数符合一次函数的形式且常数项为0，因此既是一次函数，也是正比例函数。
【答案】
（1）由$\frac{1}{2}ah=10$,可得$a=\frac{20}{h}$,不是一次函数,不是正比例函数
（2）由$2(8+b)=C$,可得$C=2b+16$,是一次函数,不是正比例函数
（3）$s=40t$,是一次函数,也是正比例函数
【知识点】
1. 列实际问题函数表达式
2. 一次函数的定义
3. 正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，既考查了从实际问题中抽象出函数关系的能力，也考查了对一次函数、正比例函数概念及二者关系的理解，解题的关键是熟记两类函数的定义，注意正比例函数是常数项为0的特殊一次函数。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据每个小问对应的实际数量关系列出等式，再将等式变形为用自变量表示因变量的函数表达式；随后回忆一次函数、正比例函数的定义：一次函数是形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$）的函数，正比例函数是形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数（正比例函数是特殊的一次函数），最后将得到的函数表达式和定义对照判断即可。
【解析】
（1）根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，已知面积$S=10$，代入得$\frac{1}{2}ah=10$，变形可得$a=\frac{20}{h}$，该函数不符合一次函数的形式，因此不是一次函数，也不是正比例函数。
（2）根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知一条边长为8，邻边长为$b$，代入得$C=2(8+b)$，整理得$C=2b+16$，该函数符合一次函数的形式，常数项不为0，因此是一次函数，不是正比例函数。
（3）根据路程公式$s=vt$，已知速度$v=40\mathrm{km/h}$，代入得$s=40t$，该函数符合一次函数的形式且常数项为0，因此既是一次函数，也是正比例函数。
【答案】
（1）由$\frac{1}{2}ah=10$,可得$a=\frac{20}{h}$,不是一次函数,不是正比例函数
（2）由$2(8+b)=C$,可得$C=2b+16$,是一次函数,不是正比例函数
（3）$s=40t$,是一次函数,也是正比例函数
【知识点】
1. 列实际问题函数表达式
2. 一次函数的定义
3. 正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，既考查了从实际问题中抽象出函数关系的能力，也考查了对一次函数、正比例函数概念及二者关系的理解，解题的关键是熟记两类函数的定义，注意正比例函数是常数项为0的特殊一次函数。
【难度系数】
0.8
