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4. 试将函数$3x+2y=1$改写成$y=kx+b$的形式，并指出$k$和$b$的值.
答案
$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$,$k=-\frac{3}{2}$,$b=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要将二元一次方程改写成$y=kx+b$的形式，核心是通过等式变形把$y$单独放在等号左侧。解题思路如下：第一步先移项，把含$x$的项移到等号右侧，注意移项要变号；第二步利用等式的性质，将等号两边同时除以$y$的系数，把$y$的系数化为1，即可得到目标形式，最后对照$y=kx+b$的结构，对应找出$k$（$x$的系数）和$b$（常数项）即可。
【解析】
已知方程$3x+2y=1$：
1. 移项，将$3x$移到等号右侧，得：$2y=-3x+1$
2. 等号两边同时除以2，将$y$的系数化为1，得：$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$
3. 对照$y=kx+b$的形式，可得一次项系数$k=-\frac{3}{2}$，常数项$b=\frac{1}{2}$
【答案】
$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$k=-\frac{3}{2}$，$b=\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的一般形式；等式的基本性质；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考察二元一次方程向一次函数斜截式的变形能力，熟练掌握等式变形的规则是解题的关键，这类变形是后续学习一次函数相关知识的重要基础。
【难度系数】
0.9
要将二元一次方程改写成$y=kx+b$的形式，核心是通过等式变形把$y$单独放在等号左侧。解题思路如下：第一步先移项，把含$x$的项移到等号右侧，注意移项要变号；第二步利用等式的性质，将等号两边同时除以$y$的系数，把$y$的系数化为1，即可得到目标形式，最后对照$y=kx+b$的结构，对应找出$k$（$x$的系数）和$b$（常数项）即可。
【解析】
已知方程$3x+2y=1$：
1. 移项，将$3x$移到等号右侧，得：$2y=-3x+1$
2. 等号两边同时除以2，将$y$的系数化为1，得：$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$
3. 对照$y=kx+b$的形式，可得一次项系数$k=-\frac{3}{2}$，常数项$b=\frac{1}{2}$
【答案】
$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$k=-\frac{3}{2}$，$b=\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的一般形式；等式的基本性质；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考察二元一次方程向一次函数斜截式的变形能力，熟练掌握等式变形的规则是解题的关键，这类变形是后续学习一次函数相关知识的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 已知函数$y=(m+1)x+(m^2-1)$. 当$m$取什么值时，$y$是$x$的一次函数？当$m$取什么值时，$y$是$x$的正比例函数？
答案
$m≠-1$时，$y$是$x$的一次函数；$m=1$时，$y$是$x$的正比例函数
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确一次函数和正比例函数的定义，再根据定义列出对应的限制条件求解：
1. 若函数是一次函数，只需满足一次项系数不为0，常数项无额外限制；
2. 若函数是正比例函数，它是特殊的一次函数，除了要满足一次项系数不为0，还需满足常数项为0，结合两个条件筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
1. 求y是x的一次函数时m的取值
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数是一次函数。
本题中一次项系数为$m+1$，因此只需满足一次项系数不为0：
$m+1≠0$
解得：$m≠-1$。
2. 求y是x的正比例函数时m的取值
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，即一次函数中常数项为0且一次项系数不为0。
因此需要同时满足两个条件：
① 一次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
② 常数项为0：$m^2-1=0$，解得$m=\pm1$
结合两个条件排除$m=-1$，得$m=1$。
【答案】
$m≠-1$时，$y$是$x$的一次函数；$m=1$时，$y$是$x$的正比例函数
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分一次函数和正比例函数的成立条件，解题时要注意正比例函数的双重限制：既要保证常数项为0，也要保证一次项系数不为0，避免误将$m=-1$当作正比例函数的解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先明确一次函数和正比例函数的定义，再根据定义列出对应的限制条件求解：
1. 若函数是一次函数，只需满足一次项系数不为0，常数项无额外限制；
2. 若函数是正比例函数，它是特殊的一次函数，除了要满足一次项系数不为0，还需满足常数项为0，结合两个条件筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
1. 求y是x的一次函数时m的取值
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数是一次函数。
本题中一次项系数为$m+1$，因此只需满足一次项系数不为0：
$m+1≠0$
解得：$m≠-1$。
2. 求y是x的正比例函数时m的取值
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，即一次函数中常数项为0且一次项系数不为0。
因此需要同时满足两个条件：
① 一次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
② 常数项为0：$m^2-1=0$，解得$m=\pm1$
结合两个条件排除$m=-1$，得$m=1$。
【答案】
$m≠-1$时，$y$是$x$的一次函数；$m=1$时，$y$是$x$的正比例函数
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分一次函数和正比例函数的成立条件，解题时要注意正比例函数的双重限制：既要保证常数项为0，也要保证一次项系数不为0，避免误将$m=-1$当作正比例函数的解。
【难度系数】
0.8
2. 已知一次函数$y=2x-3$.
(1) 当$x=-2$时,求$y$的值;
(2) 当$y=1$时,求$x$的值;
(3) 当$-3＜y＜0$时,求$x$的取值范围.
(1) 当$x=-2$时,求$y$的值;
(2) 当$y=1$时,求$x$的值;
(3) 当$-3＜y＜0$时,求$x$的取值范围.
答案
(1) $y=-7$
(2) $x=2$
(3) $0＜x＜\frac{3}{2}$
(2) $x=2$
(3) $0＜x＜\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查一次函数中自变量与函数值的对应关系，解题思路如下：
(1) 已知自变量x的值，直接将x代入一次函数表达式，通过有理数运算即可求出对应的y值；
(2) 已知函数值y的值，将y代入表达式，转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值；
(3) 已知y的取值范围，将表达式中的y替换为2x-3，转化为一元一次不等式组，分别解两个不等式后取公共解集，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=-2$代入$y=2x-3$，得：
$y=2×(-2)-3=-4-3=-7$
(2) 将$y=1$代入$y=2x-3$，得到一元一次方程：
$1=2x-3$
移项得$2x=1+3=4$，解得$x=2$
(3) 由$-3＜y＜0$，将$y=2x-3$代入，可得不等式组：
$\begin{cases}2x-3＞-3 \\2x-3＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：$2x-3＞-3$，移项得$2x＞0$，解得$x＞0$
解第二个不等式：$2x-3＜0$，移项得$2x＜3$，解得$x＜\frac{3}{2}$
综上，x的取值范围为$0＜x＜\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $y=-7$
(2) $x=2$
(3) $0＜x＜\frac{3}{2}$
【知识点】
一次函数代入求值，解一元一次方程，解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心是理解一次函数中自变量和函数值的一一对应关系，熟练掌握代入法、一元一次方程和不等式组的解法是解题的关键，为后续学习一次函数的图像与性质打下基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一次函数中自变量与函数值的对应关系，解题思路如下：
(1) 已知自变量x的值，直接将x代入一次函数表达式，通过有理数运算即可求出对应的y值；
(2) 已知函数值y的值，将y代入表达式，转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值；
(3) 已知y的取值范围，将表达式中的y替换为2x-3，转化为一元一次不等式组，分别解两个不等式后取公共解集，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=-2$代入$y=2x-3$，得：
$y=2×(-2)-3=-4-3=-7$
(2) 将$y=1$代入$y=2x-3$，得到一元一次方程：
$1=2x-3$
移项得$2x=1+3=4$，解得$x=2$
(3) 由$-3＜y＜0$，将$y=2x-3$代入，可得不等式组：
$\begin{cases}2x-3＞-3 \\2x-3＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：$2x-3＞-3$，移项得$2x＞0$，解得$x＞0$
解第二个不等式：$2x-3＜0$，移项得$2x＜3$，解得$x＜\frac{3}{2}$
综上，x的取值范围为$0＜x＜\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $y=-7$
(2) $x=2$
(3) $0＜x＜\frac{3}{2}$
【知识点】
一次函数代入求值，解一元一次方程，解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心是理解一次函数中自变量和函数值的一一对应关系，熟练掌握代入法、一元一次方程和不等式组的解法是解题的关键，为后续学习一次函数的图像与性质打下基础。
【难度系数】
0.9
3. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20 m³，按2元/m³计费；月用水量超过20 m³时，其中的20 m³仍按2元/m³计费，超过部分按2.6元/m³计费.某户家庭月用水量为x m³，应交水费y元.
（1）分别求出当0≤x≤20和x＞20时，y关于x的函数表达式；
（2）小明家第二季度交水费的情况如下：
小明家这个季度共用水多少立方米？
（1）分别求出当0≤x≤20和x＞20时，y关于x的函数表达式；
（2）小明家第二季度交水费的情况如下：
小明家这个季度共用水多少立方米？
答案
(1) $y=2x(0≤ x≤ 20)$,$y=2.6x-12(x＞20)$
(2) $53\ \mathrm{m}^3$
(2) $53\ \mathrm{m}^3$
解析
【分析】
（1）本题属于分段计费的函数应用问题，分两种情况推导函数式：①当月用水量不超过20m³时，水费=单价×用水量，直接代入单价2元/m³即可得到对应关系；②当月用水量超过20m³时，水费由两部分组成：20m³的基础费用、超出20m³部分的加价费用，分别计算两部分费用后相加化简即可得到对应函数式。
（2）首先计算用水量恰好为20m³时的水费为40元，以此为分界判断每个月的用水量所属区间：4月、5月水费均低于40元，说明用水量未超过20m³，代入$0≤x≤20$的函数式求用水量；6月水费高于40元，说明用水量超过20m³，代入$x＞20$的函数式求用水量，最后将三个月用水量相加即可得到季度总用水量。
【解析】
（1）分情况推导y关于x的函数表达式：
①当$0≤ x≤ 20$时，水费按2元/m³计费，因此$y=2x$；
②当$x＞20$时，20m³的费用为$20×2=40$元，超出部分的水量为$(x-20)\mathrm{m}^3$，超出部分费用为$2.6(x-20)$元，因此总水费：
$y=20×2 + 2.6(x-20)=40+2.6x-52=2.6x-12$。
（2）先计算用水量为20m³时的水费：$2×20=40$元，据此判断每月用水量区间并计算：
①4月水费30元＜40元，代入$y=2x$得：$2x=30$，解得$x=15\ \mathrm{m}^3$；
②5月水费34元＜40元，代入$y=2x$得：$2x=34$，解得$x=17\ \mathrm{m}^3$；
③6月水费42.6元＞40元，代入$y=2.6x-12$得：$2.6x-12=42.6$，解得$x=21\ \mathrm{m}^3$；
季度总用水量为三个月用水量之和：$15+17+21=53\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) 当$0≤ x≤ 20$时，$y=2x$；当$x＞20$时，$y=2.6x-12$
(2) $53\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段函数，一次函数的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的水费计费场景考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同用水量对应的计费规则，再根据费用数值判断所属的计费区间后代入计算，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于分段计费的函数应用问题，分两种情况推导函数式：①当月用水量不超过20m³时，水费=单价×用水量，直接代入单价2元/m³即可得到对应关系；②当月用水量超过20m³时，水费由两部分组成：20m³的基础费用、超出20m³部分的加价费用，分别计算两部分费用后相加化简即可得到对应函数式。
（2）首先计算用水量恰好为20m³时的水费为40元，以此为分界判断每个月的用水量所属区间：4月、5月水费均低于40元，说明用水量未超过20m³，代入$0≤x≤20$的函数式求用水量；6月水费高于40元，说明用水量超过20m³，代入$x＞20$的函数式求用水量，最后将三个月用水量相加即可得到季度总用水量。
【解析】
（1）分情况推导y关于x的函数表达式：
①当$0≤ x≤ 20$时，水费按2元/m³计费，因此$y=2x$；
②当$x＞20$时，20m³的费用为$20×2=40$元，超出部分的水量为$(x-20)\mathrm{m}^3$，超出部分费用为$2.6(x-20)$元，因此总水费：
$y=20×2 + 2.6(x-20)=40+2.6x-52=2.6x-12$。
（2）先计算用水量为20m³时的水费：$2×20=40$元，据此判断每月用水量区间并计算：
①4月水费30元＜40元，代入$y=2x$得：$2x=30$，解得$x=15\ \mathrm{m}^3$；
②5月水费34元＜40元，代入$y=2x$得：$2x=34$，解得$x=17\ \mathrm{m}^3$；
③6月水费42.6元＞40元，代入$y=2.6x-12$得：$2.6x-12=42.6$，解得$x=21\ \mathrm{m}^3$；
季度总用水量为三个月用水量之和：$15+17+21=53\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) 当$0≤ x≤ 20$时，$y=2x$；当$x＞20$时，$y=2.6x-12$
(2) $53\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段函数，一次函数的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的水费计费场景考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同用水量对应的计费规则，再根据费用数值判断所属的计费区间后代入计算，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
