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一、基础性作业
1. 下列属于一元二次方程的是(
A.$x^2 - 2x + y = 0$
B.$y - 3 = \frac{1}{y}$
C.$x^2 + 8x = 0$
D.$ax^2 + bx + c = 0$
1. 下列属于一元二次方程的是(
C
)。A.$x^2 - 2x + y = 0$
B.$y - 3 = \frac{1}{y}$
C.$x^2 + 8x = 0$
D.$ax^2 + bx + c = 0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程（等号两侧均为整式，不存在分母含未知数的情况）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时只需用这四个条件逐一核对四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，我们逐一分析选项：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不属于一元二次方程；
B选项：方程右边的$\frac{1}{y}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
C选项：只含有未知数x，x的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义；
D选项：未明确说明二次项系数a≠0，当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，因此不一定是一元二次方程。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程与分式方程的识别
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程的判定条件，尤其要注意两个易漏点：一是需先判断是否为整式方程，二是含字母系数的方程要保证二次项系数不为0。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程（等号两侧均为整式，不存在分母含未知数的情况）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时只需用这四个条件逐一核对四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，我们逐一分析选项：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不属于一元二次方程；
B选项：方程右边的$\frac{1}{y}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
C选项：只含有未知数x，x的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义；
D选项：未明确说明二次项系数a≠0，当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，因此不一定是一元二次方程。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程与分式方程的识别
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程的判定条件，尤其要注意两个易漏点：一是需先判断是否为整式方程，二是含字母系数的方程要保证二次项系数不为0。
【难度系数】
0.9
2. 关于$x$的一元二次方程$3x^2=5x-2$的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
A.$3,-5,-2$
B.$3,-5x,2$
C.$3,5x,-2$
D.$3,-5,2$
D
）。A.$3,-5,-2$
B.$3,-5x,2$
C.$3,5x,-2$
D.$3,-5,2$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，且系数均为不含未知数的常数。解题第一步要将给定方程化为一般形式，移项时注意符号变化，再对应找出三个系数，最后匹配选项即可。
【解析】
首先将原方程$3x^2=5x-2$移项，把等号右侧的项全部移到左侧，移项要变号，可得：
$3x^2 -5x +2 = 0$
对照一元二次方程的一般形式，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程一般形式的转化，易错点是移项时忽略符号变化，或是误将含未知数的项整体当作系数，解题时需注意区分项和系数的概念。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，且系数均为不含未知数的常数。解题第一步要将给定方程化为一般形式，移项时注意符号变化，再对应找出三个系数，最后匹配选项即可。
【解析】
首先将原方程$3x^2=5x-2$移项，把等号右侧的项全部移到左侧，移项要变号，可得：
$3x^2 -5x +2 = 0$
对照一元二次方程的一般形式，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程一般形式的转化，易错点是移项时忽略符号变化，或是误将含未知数的项整体当作系数，解题时需注意区分项和系数的概念。
【难度系数】
0.9
3. 若方程$(m+1)x^2 +4x +9=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的取值范围是（
A.$m ＞ -1$
B.$m ＜ -1$
C.$m≠-1$
D.$m$为任意实数
C
）。A.$m ＞ -1$
B.$m ＜ -1$
C.$m≠-1$
D.$m$为任意实数
答案
3.C
解析
【分析】
拿到本题首先明确考点是一元二次方程的定义，解题思路如下：第一步回忆一元二次方程的判定要求：一元二次方程需满足是整式方程、仅含1个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的一元二次方程，因此核心限制条件为二次项系数不能为0，否则x²项消失，方程变为一元一次方程，不符合要求。接下来只需列出二次项系数不为0的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
方程$(m+1)x^2 +4x +9=0$的二次项系数为$m+1$，因此可得：
$m+1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用考题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，解题时牢记判定一元二次方程的核心要点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先明确考点是一元二次方程的定义，解题思路如下：第一步回忆一元二次方程的判定要求：一元二次方程需满足是整式方程、仅含1个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的一元二次方程，因此核心限制条件为二次项系数不能为0，否则x²项消失，方程变为一元一次方程，不符合要求。接下来只需列出二次项系数不为0的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
方程$(m+1)x^2 +4x +9=0$的二次项系数为$m+1$，因此可得：
$m+1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用考题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，解题时牢记判定一元二次方程的核心要点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的方程$(m - 4)x^{|m - 2|} + 2x - 5 = 0$是一元二次方程，则$m=$
0
。答案
4.0
解析
【分析】
要解决本题，需先明确一元二次方程的判定条件：一是方程中未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程最高次数小于2，不符合一元二次方程要求）。我们先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，即可得到最终m的值。
【解析】
已知方程$(m - 4)x^{|m - 2|} + 2x - 5 = 0$是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：即$|m - 2| = 2$
解绝对值方程：
当$m-2≥0$时，$m-2=2$，解得$m=4$；
当$m-2＜0$时，$m-2=-2$，解得$m=0$。
2. 二次项系数不为0：即$m - 4 ≠ 0$，解得$m ≠ 4$。
综上，舍去不符合条件的$m=4$，得$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础考查题，解题的关键是牢记一元二次方程需同时满足最高次数为2、二次项系数不为0两个条件，避免因遗漏系数限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确一元二次方程的判定条件：一是方程中未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程最高次数小于2，不符合一元二次方程要求）。我们先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，即可得到最终m的值。
【解析】
已知方程$(m - 4)x^{|m - 2|} + 2x - 5 = 0$是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：即$|m - 2| = 2$
解绝对值方程：
当$m-2≥0$时，$m-2=2$，解得$m=4$；
当$m-2＜0$时，$m-2=-2$，解得$m=0$。
2. 二次项系数不为0：即$m - 4 ≠ 0$，解得$m ≠ 4$。
综上，舍去不符合条件的$m=4$，得$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础考查题，解题的关键是牢记一元二次方程需同时满足最高次数为2、二次项系数不为0两个条件，避免因遗漏系数限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
5. 把方程$(2x + 3)^2 - 3x = 1$化成一般形式为
$4x^2+9x+8=0$
。答案
5.$4x^2+9x+8=0$
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题步骤如下：第一步用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步合并同类项化简左侧式子，第三步将右侧的常数项移到左侧，最后整理为右侧为0、左侧按x降幂排列的形式即可。
【解析】
1. 利用完全平方公式展开$(2x+3)^2$：
$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
2. 将展开结果代入原方程：
$4x^2+12x+9-3x=1$
3. 合并左侧同类项：
$4x^2+(12x-3x)+9=1$，即$4x^2+9x+9=1$
4. 移项，将右侧的1移到左侧并变号：
$4x^2+9x+9-1=0$
5. 合并常数项得到最终一般形式：
$4x^2+9x+8=0$
【答案】
$4x^2+9x+8=0$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，主要考察方程化简的基本能力，解题时需注意完全平方公式的正确展开，移项时要注意变号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.85
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题步骤如下：第一步用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步合并同类项化简左侧式子，第三步将右侧的常数项移到左侧，最后整理为右侧为0、左侧按x降幂排列的形式即可。
【解析】
1. 利用完全平方公式展开$(2x+3)^2$：
$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
2. 将展开结果代入原方程：
$4x^2+12x+9-3x=1$
3. 合并左侧同类项：
$4x^2+(12x-3x)+9=1$，即$4x^2+9x+9=1$
4. 移项，将右侧的1移到左侧并变号：
$4x^2+9x+9-1=0$
5. 合并常数项得到最终一般形式：
$4x^2+9x+8=0$
【答案】
$4x^2+9x+8=0$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，主要考察方程化简的基本能力，解题时需注意完全平方公式的正确展开，移项时要注意变号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.85
6. 两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则可列方程为
$x^2-7x+12=0$
。（化为一般形式）答案
6.$x^2-7x+12=0$
解析
【分析】
解题时先明确题目中的数量关系：已知两个数的和为7，其中一个数为x，那么另一个数可表示为(7-x)；再根据两数的积为12这一等量关系列出方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式（$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$）即可。
【解析】
设其中一个数为$x$，则另一个数为$7-x$。
根据两数乘积为12的等量关系列方程：
$x(7-x)=12$
展开等式左边得：
$7x-x^2=12$
移项并整理为二次项系数为正的一般形式：
$x^2-7x+12=0$
【答案】
$x^2-7x+12=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础类题型，核心是找准两个数的表达式和乘积的等量关系，只要掌握一元二次方程一般形式的化简要求，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目中的数量关系：已知两个数的和为7，其中一个数为x，那么另一个数可表示为(7-x)；再根据两数的积为12这一等量关系列出方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式（$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$）即可。
【解析】
设其中一个数为$x$，则另一个数为$7-x$。
根据两数乘积为12的等量关系列方程：
$x(7-x)=12$
展开等式左边得：
$7x-x^2=12$
移项并整理为二次项系数为正的一般形式：
$x^2-7x+12=0$
【答案】
$x^2-7x+12=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础类题型，核心是找准两个数的表达式和乘积的等量关系，只要掌握一元二次方程一般形式的化简要求，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于$x$的方程$(a^2 -9)x^2 + (a-3)x +3=0$。
(1)当$a$为何值时，该方程是一元二次方程？
(2)当$a$为何值时，该方程是一元一次方程？
(1)当$a$为何值时，该方程是一元二次方程？
(2)当$a$为何值时，该方程是一元一次方程？
答案
7. 解:(1)
∵关于x的方程$(a^2-9)x^2+(a-3)x+3=0$是一元二次方程，
∴$a^2-9≠0$,解得$a≠±3$，
∴当$a≠±3$时,该方程是一元二次方程。
(2)
∵关于x的方程$(a^2-9)x^2+(a-3)x+3=0$是一元一次方程，
∴$a^2-9=0$,且$a-3≠0$,
∴$a=-3$，
∴当$a=-3$时,该方程是一元一次方程。
∵关于x的方程$(a^2-9)x^2+(a-3)x+3=0$是一元二次方程，
∴$a^2-9≠0$,解得$a≠±3$，
∴当$a≠±3$时,该方程是一元二次方程。
(2)
∵关于x的方程$(a^2-9)x^2+(a-3)x+3=0$是一元一次方程，
∴$a^2-9=0$,且$a-3≠0$,
∴$a=-3$，
∴当$a=-3$时,该方程是一元一次方程。
解析
【分析】
本题需紧扣一元二次方程、一元一次方程的定义列条件求解：①判断一元二次方程时，需保证未知数的最高次数为2，即二次项系数不为0，据此列不等式即可求a的取值范围；②判断一元一次方程时，需保证未知数最高次数为1，因此首先要让二次项系数为0消去二次项，同时要保证一次项系数不为0，避免方程变为常数式，联立两个条件即可求a的值。
【解析】
(1) 若方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0：
$\because$ 方程$(a^2 -9)x^2 + (a-3)x +3=0$是一元二次方程
$\therefore a^2 -9≠0$
解得 $a≠\pm3$
$\therefore$ 当$a≠\pm3$时，该方程是一元二次方程。
(2) 若方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
$\because$ 方程$(a^2 -9)x^2 + (a-3)x +3=0$是一元一次方程
$\therefore \begin{cases}a^2 -9=0 \\ a-3≠0 \end{cases}$
解$a^2 -9=0$得$a=\pm3$，结合$a-3≠0$即$a≠3$，可得$a=-3$
$\therefore$ 当$a=-3$时，该方程是一元一次方程。
【答案】
(1) $a≠\pm3$；(2) $a=-3$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题是整式方程定义的基础应用，解题核心是明确不同次数的整式方程对对应次数项的系数限制，易错点是求解一元一次方程时容易忽略一次项系数不能为0的条件。
【难度系数】
0.8
本题需紧扣一元二次方程、一元一次方程的定义列条件求解：①判断一元二次方程时，需保证未知数的最高次数为2，即二次项系数不为0，据此列不等式即可求a的取值范围；②判断一元一次方程时，需保证未知数最高次数为1，因此首先要让二次项系数为0消去二次项，同时要保证一次项系数不为0，避免方程变为常数式，联立两个条件即可求a的值。
【解析】
(1) 若方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0：
$\because$ 方程$(a^2 -9)x^2 + (a-3)x +3=0$是一元二次方程
$\therefore a^2 -9≠0$
解得 $a≠\pm3$
$\therefore$ 当$a≠\pm3$时，该方程是一元二次方程。
(2) 若方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
$\because$ 方程$(a^2 -9)x^2 + (a-3)x +3=0$是一元一次方程
$\therefore \begin{cases}a^2 -9=0 \\ a-3≠0 \end{cases}$
解$a^2 -9=0$得$a=\pm3$，结合$a-3≠0$即$a≠3$，可得$a=-3$
$\therefore$ 当$a=-3$时，该方程是一元一次方程。
【答案】
(1) $a≠\pm3$；(2) $a=-3$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题是整式方程定义的基础应用，解题核心是明确不同次数的整式方程对对应次数项的系数限制，易错点是求解一元一次方程时容易忽略一次项系数不能为0的条件。
【难度系数】
0.8
8. 将4个数$a,b,c,d$排成2行2列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。上述记法就叫作二阶行列式。那么$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=22$表示的方程是一元二次方程吗？如果是，请写出它的一般形式；如果不是，请说明理由。
答案
8. 解:是。根据题意,得$(x+1)·2x-(x+2)(x-2)=22$，
整理,得$x^2+2x-18=0$。
它符合一元二次方程的定义,所以是一元二次方程。
整理,得$x^2+2x-18=0$。
它符合一元二次方程的定义,所以是一元二次方程。
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的二阶行列式的新运算规则：二阶行列式的值等于主对角线（左上到右下）两个元素的乘积减去副对角线（右上到左下）两个元素的乘积。第一步按照该规则把题目中的行列式展开得到关于x的等式，第二步利用整式的运算法则（包括单项式乘多项式、平方差公式）对等式左边进行化简，第三步将整理后的方程对照一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程）判断是否为一元二次方程，若是则整理为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的一般形式即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(x+1)· 2x - (x+2)(x-2) = 22$
分别计算等式左边的两项：
第一项：$(x+1)· 2x = 2x^2 + 2x$
第二项利用平方差公式计算：$(x+2)(x-2)=x^2 - 4$
代入原式得：
$2x^2 + 2x - (x^2 - 4) = 22$
去括号：
$2x^2 + 2x - x^2 + 4 = 22$
移项、合并同类项整理得：
$x^2 + 2x - 18 = 0$
该方程只含有一个未知数$x$，未知数的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，因此是一元二次方程。
【答案】
是一元二次方程，它的一般形式为$\boldsymbol{x^2+2x-18=0}$。
【知识点】
1. 新定义运算 2. 整式化简 3. 一元二次方程的定义
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程的知识点结合考查，解题的核心是正确理解新运算规则，化简过程中要注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式的运算公式是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目给出的二阶行列式的新运算规则：二阶行列式的值等于主对角线（左上到右下）两个元素的乘积减去副对角线（右上到左下）两个元素的乘积。第一步按照该规则把题目中的行列式展开得到关于x的等式，第二步利用整式的运算法则（包括单项式乘多项式、平方差公式）对等式左边进行化简，第三步将整理后的方程对照一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程）判断是否为一元二次方程，若是则整理为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的一般形式即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(x+1)· 2x - (x+2)(x-2) = 22$
分别计算等式左边的两项：
第一项：$(x+1)· 2x = 2x^2 + 2x$
第二项利用平方差公式计算：$(x+2)(x-2)=x^2 - 4$
代入原式得：
$2x^2 + 2x - (x^2 - 4) = 22$
去括号：
$2x^2 + 2x - x^2 + 4 = 22$
移项、合并同类项整理得：
$x^2 + 2x - 18 = 0$
该方程只含有一个未知数$x$，未知数的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，因此是一元二次方程。
【答案】
是一元二次方程，它的一般形式为$\boldsymbol{x^2+2x-18=0}$。
【知识点】
1. 新定义运算 2. 整式化简 3. 一元二次方程的定义
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程的知识点结合考查，解题的核心是正确理解新运算规则，化简过程中要注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式的运算公式是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
9. 一次排球邀请赛中，每两个队之间都要比一场，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛。设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为
$x^2-x-72=0$
。（化为一般形式）答案
9.$x^2-x-72=0$
解析
【分析】
解题时首先计算本次邀请赛的总比赛场数，再结合单循环比赛的场次计算规则找到参赛队数量和总场次的等量关系，最后列方程整理为一元二次方程的一般形式即可。第一步先算总场次：已知赛程9天，每天4场，总场次为$9×4=36$场；第二步回忆单循环比赛场次公式：x个队参赛时，每两队之间只赛1场，每个队会和其余$(x-1)$个队各赛1场，若直接计算$x(x-1)$会把每一场比赛重复计算1次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；第三步根据总场次相等列方程，再整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式。
【解析】
首先计算比赛总场数：$9×4=36$场。
已知邀请$x$个队参赛，每两个队之间赛一场属于单循环赛，总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，根据总场数相等可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
方程两边同时乘2得：
$x(x-1)=72$
展开并移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - x -72=0$
【答案】
$x^2-x-72=0$
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；方程化简
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确掌握单循环比赛的总场次计算逻辑，避免出现重复计数的错误，再结合题目给出的总场次等量关系列方程化简即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算本次邀请赛的总比赛场数，再结合单循环比赛的场次计算规则找到参赛队数量和总场次的等量关系，最后列方程整理为一元二次方程的一般形式即可。第一步先算总场次：已知赛程9天，每天4场，总场次为$9×4=36$场；第二步回忆单循环比赛场次公式：x个队参赛时，每两队之间只赛1场，每个队会和其余$(x-1)$个队各赛1场，若直接计算$x(x-1)$会把每一场比赛重复计算1次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；第三步根据总场次相等列方程，再整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式。
【解析】
首先计算比赛总场数：$9×4=36$场。
已知邀请$x$个队参赛，每两个队之间赛一场属于单循环赛，总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，根据总场数相等可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
方程两边同时乘2得：
$x(x-1)=72$
展开并移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - x -72=0$
【答案】
$x^2-x-72=0$
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；方程化简
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确掌握单循环比赛的总场次计算逻辑，避免出现重复计数的错误，再结合题目给出的总场次等量关系列方程化简即可。
【难度系数】
0.7
10. 阅读理解:
定义:如果关于 x 的方程 $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0(a_1≠0,a_1,b_1,c_1$ 是常数)与 $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0(a_2≠0,a_2,b_2,c_2$ 是常数)的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 $a_1 + a_2 = 0,b_1 = b_2,c_1 + c_2 = 0$,那么这两个方程互为“对称方程”。比如:求方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 的“对称方程”,可以这样思考:由方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 可知,$a_1 = 2,b_1 = -3,c_1 = 1$,根据 $a_1 + a_2 = 0,b_1 = b_2,c_1 + c_2 = 0$,求出 $a_2,b_2,c_2$ 就能确定这个方程的“对称方程”。
请用以上方法解决下面问题:
(1)填空:方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的“对称方程”是
(2)若关于 x 的方程 $5x^2 + (m - 1)x - n = 0$ 与 $-5x^2 - x = 1$ 互为“对称方程”,求 $(m + n)^2$ 的值。
定义:如果关于 x 的方程 $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0(a_1≠0,a_1,b_1,c_1$ 是常数)与 $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0(a_2≠0,a_2,b_2,c_2$ 是常数)的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 $a_1 + a_2 = 0,b_1 = b_2,c_1 + c_2 = 0$,那么这两个方程互为“对称方程”。比如:求方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 的“对称方程”,可以这样思考:由方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 可知,$a_1 = 2,b_1 = -3,c_1 = 1$,根据 $a_1 + a_2 = 0,b_1 = b_2,c_1 + c_2 = 0$,求出 $a_2,b_2,c_2$ 就能确定这个方程的“对称方程”。
请用以上方法解决下面问题:
(1)填空:方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的“对称方程”是
$-x^2-4x-3=0$
;(2)若关于 x 的方程 $5x^2 + (m - 1)x - n = 0$ 与 $-5x^2 - x = 1$ 互为“对称方程”,求 $(m + n)^2$ 的值。
答案
10. 解:(1)$-x^2-4x-3=0$
(2)由$-5x^2-x=1$,移项可得$-5x^2-x-1=0$。
∵方程$5x^2+(m-1)x-n=0$与$-5x^2-x-1=0$为“对称方程”，
∴$m-1=-1,-n+(-1)=0$,解得$m=0,n=-1$，
∴$(m+n)^2=(0-1)^2=1$。
(2)由$-5x^2-x=1$,移项可得$-5x^2-x-1=0$。
∵方程$5x^2+(m-1)x-n=0$与$-5x^2-x-1=0$为“对称方程”，
∴$m-1=-1,-n+(-1)=0$,解得$m=0,n=-1$，
∴$(m+n)^2=(0-1)^2=1$。
解析
【分析】
（1）解决第(1)问需先明确“对称方程”的定义：两个一元二次方程二次项系数互为相反数，一次项系数相等，常数项互为相反数。先找出方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据定义计算其对称方程的对应系数，即可写出方程。
（2）解决第(2)问首先要将方程$-5x^2 - x = 1$整理为一元二次方程的一般形式，再根据“对称方程”的系数关系列等式求出$m$、$n$的值，最后代入代数式$(m + n)^2$计算结果即可。
【解析】
（1）方程$x^2 - 4x + 3 = 0$中，$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，根据“对称方程”的定义可得：
$a_2=-a_1=-1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此该方程的“对称方程”是$-x^2 - 4x - 3 = 0$。
（2）先将$-5x^2 - x = 1$移项整理为一般形式：$-5x^2 - x - 1 = 0$，
因为方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x - 1 = 0$互为“对称方程”，
根据定义可得一次项系数相等：$m - 1 = -1$，
常数项满足和为0：$-n + (-1) = 0$，
解得$m=0$，$n=-1$，
代入$(m + n)^2$得：$(0 - 1)^2 = 1$。
【答案】
(1)$-x^2 - 4x - 3 = 0$；(2)$1$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题以新定义为载体，核心考查一元二次方程的系数识别和基础代数运算，解题的关键是准确理解“对称方程”的系数关系，将新定义问题转化为常规的解方程和代数式计算问题，只要读懂定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）解决第(1)问需先明确“对称方程”的定义：两个一元二次方程二次项系数互为相反数，一次项系数相等，常数项互为相反数。先找出方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据定义计算其对称方程的对应系数，即可写出方程。
（2）解决第(2)问首先要将方程$-5x^2 - x = 1$整理为一元二次方程的一般形式，再根据“对称方程”的系数关系列等式求出$m$、$n$的值，最后代入代数式$(m + n)^2$计算结果即可。
【解析】
（1）方程$x^2 - 4x + 3 = 0$中，$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，根据“对称方程”的定义可得：
$a_2=-a_1=-1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此该方程的“对称方程”是$-x^2 - 4x - 3 = 0$。
（2）先将$-5x^2 - x = 1$移项整理为一般形式：$-5x^2 - x - 1 = 0$，
因为方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x - 1 = 0$互为“对称方程”，
根据定义可得一次项系数相等：$m - 1 = -1$，
常数项满足和为0：$-n + (-1) = 0$，
解得$m=0$，$n=-1$，
代入$(m + n)^2$得：$(0 - 1)^2 = 1$。
【答案】
(1)$-x^2 - 4x - 3 = 0$；(2)$1$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题以新定义为载体，核心考查一元二次方程的系数识别和基础代数运算，解题的关键是准确理解“对称方程”的系数关系，将新定义问题转化为常规的解方程和代数式计算问题，只要读懂定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
