1. 若$x=1$是方程$x^2 + mx +1=0$的一个解，则$m$的值为（）。

A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$

1.D

【分析】
本题可根据一元二次方程解的定义求解，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的解x=1代入原方程，就能得到一个只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
因为x=1是方程$x^2 + mx +1=0$的一个解，根据方程解的定义，将$x=1$代入方程得：
$1^2 + m×1 + 1 = 0$
计算化简得：$1 + m + 1 = 0$
合并同类项得：$m + 2 = 0$
解得：$m=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的解的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程的解的含义将求未知参数的问题转化为解方程问题，计算量小，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. 小亮将$x$的取值:$1.1,1.2,1.3,1.4,1.5$分别代入$x^2 +12x -15$求值,得到表2-1-1,估算一元二次方程的近似解。
表2-1-1

由此可确定一元二次方程$x^2 +12x -15=0$的近似解$x$的范围是()。

A.$1.1＜x＜1.2$
B.$1.2＜x＜1.3$
C.$1.3＜x＜1.4$
D.$1.4＜x＜1.5$

2.A

【分析】
要确定一元二次方程$x^2+12x-15=0$的近似解范围，首先明确方程的解就是使代数式$x^2+12x-15$的值为0的$x$的取值。由于二次函数对应的图象是连续的，当$x$取两个相邻值时，若代数式的值一个大于0、一个小于0，说明0就在这两个函数值之间，对应的方程的解就落在这两个$x$的取值范围内。接下来只需观察表格中代数式的正负变化，找到正负切换对应的$x$区间即可。
【解析】
一元二次方程$x^2+12x-15=0$的解是使$x^2+12x-15=0$的$x$的值，观察表格数据：
当$x=1.1$时，$x^2+12x-15=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$x^2+12x-15=0.84＞0$。
因为二次函数$y=x^2+12x-15$的图象是连续曲线，所以当函数值从负变为正时，必然存在一个$x$使得函数值为0，因此方程的近似解$x$的范围是$1.1＜x＜1.2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程近似解估算
2. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查通过列表法判断一元二次方程近似解的范围，解题关键是理解方程的解与对应代数式值为0的对应关系，利用代数式正负的变化确定解所在区间，是估算方程解的基础应用。
【难度系数】
0.8

3. 若一元二次方程$ax^2 + bx + 2 = 0$有一解为$x=2024$，则一元二次方程$a(x-2)^2 + bx = 2b - 2$必有一解为()。

A.$x=2026$
B.$x=2025$
C.$x=2024$
D.$x=2022$

3.A

【分析】
本题可利用一元二次方程解的定义结合整体代换思想求解。首先，若一个数是一元二次方程的解，则将其代入方程后等式必然成立，我们先把已知解代入第一个方程得到对应等量关系；再将待求的第二个方程整理为和第一个方程结构完全相同的形式，把第二个方程中与第一个方程未知数对应的部分看作整体，即可快速求出对应解，无需计算参数a、b的具体值。
【解析】
1. 已知$x=2024$是方程$ax^2+bx+2=0$的解，将其代入方程得：
$a·2024^2 + b·2024 + 2 = 0$ ①
2. 整理待求方程$a(x-2)^2 + bx = 2b - 2$：
移项得$a(x-2)^2 + bx - 2b + 2 = 0$，
对含$b$的项提取公因式得：$a(x-2)^2 + b(x-2) + 2 = 0$ ②
3. 对比①和②的结构可知：当$x-2=2024$时，②式与①式完全相同，等式成立，
解得$x=2024+2=2026$，即第二个方程必有一解为$x=2026$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，整体代入法
【点评】
本题考查一元二次方程解的概念的灵活应用，通过变形将待求方程转化为与已知方程同结构的形式，利用整体代换思想可避开复杂计算，是解决这类同结构方程问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

4. 若$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的解，则$2a + 4b =$。

4.-2

【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程解的定义，方程的解代入方程后等式成立，因此先将x=1代入给定方程，得到a与b的数量关系；第二步，观察所求代数式2a+4b的结构，可变形为2(a+2b)，刚好是第一步得到的a、b关系式的2倍，用整体代入法即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的解
∴将$x=1$代入方程，可得：
$1^2 + a×1 + 2b = 0$
整理得：$a + 2b = -1$
∵$2a + 4b = 2(a + 2b)$
将$a + 2b = -1$整体代入上式：
$2a + 4b = 2×(-1) = -2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是掌握方程解的定义，同时灵活运用整体代入的思想简化计算，避免不必要的运算步骤。
【难度系数】
0.8

5. 若$m$是方程$x^2 + x -1=0$的解，则式子$2m^2 + 2m + 2025$的值为。

5.2 027

【分析】
首先根据一元二次方程解的定义，将x=m代入原方程可得到m²+m的取值；再观察所求代数式的结构，对前两项提取公因式2，将其转化为含有m²+m的形式，最后整体代入计算即可，无需解出m的具体值，简化运算过程。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 + x -1=0$的解，
∴将x=m代入方程得：$m^2 + m - 1 = 0$，
∴$m^2 + m = 1$。
对代数式$2m^2 + 2m + 2025$变形可得：
$2m^2 + 2m + 2025 = 2(m^2 + m) + 2025$
将$m^2 + m = 1$代入上式：
原式$=2×1 + 2025 = 2 + 2025 = 2027$
【答案】
2027
【知识点】
一元二次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是运用整体代入思想，不需要求解未知数的具体值，通过变形待求代数式，结合方程解的性质代入计算即可，能有效降低运算难度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8

6. 一块面积为$120\ \mathrm{m}^2$的矩形空地，它的长比宽多2 m，这块空地的长是 m，宽是 m。

6.12 10

【分析】
本题是矩形面积相关的实际应用问题，解题思路如下：第一步，回忆矩形面积公式：矩形面积=长×宽，结合题目“长比宽多2m”的条件，可通过设未知数列方程求解；第二步，设宽为未知数，用含未知数的式子表示长，根据面积为120m²的等量关系列出一元二次方程；第三步，解方程后，结合长度为正数的实际意义舍去不合理的根，最终得到长和宽的数值。
【解析】
解：设这块矩形空地的宽为$ x\ \mathrm{m} $，则长为$ (x+2)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，可列方程：
$ x(x+2)=120 $
整理得：
$ x^2+2x-120=0 $
因式分解得：
$ (x-10)(x+12)=0 $
解得：$ x_1=10 $，$ x_2=-12 $
∵ 空地的宽度为正数，
∴ $ x=-12 $不符合实际，舍去。
则宽为$ 10\ \mathrm{m} $，长为$ 10+2=12\ \mathrm{m} $。
【答案】
12；10
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，核心是找准题目中的等量关系建立方程模型，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，熟练掌握一元二次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

7. 若$ a $是关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 3x - 10 = 0 $的解，求代数式$ a(a - 3) + 5 $的值。

7. 解:将$ x=a $代入$ x^2 - 3x - 10 = 0 $得$ a^2 - 3a - 10 = 0 $，
$ \therefore a^2 - 3a = 10,\therefore a(a - 3) + 5 = a^2 - 3a + 5 = 10 + 5 = 15 $。

【分析】
解题思路如下：首先根据一元二次方程解的定义，将x=a代入原方程，可得到关于a的等式，整理后能求出$a^2-3a$的值；再将所求代数式展开，发现其包含$a^2-3a$这个整体，最后将$a^2-3a$的值整体代入计算即可得到结果，无需单独求解a的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵a是一元二次方程$x^2 - 3x - 10 = 0$的解，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 - 3a - 10 = 0$，
移项可得：$a^2 - 3a = 10$，
对所求代数式展开得：$a(a - 3) + 5 = a^2 - 3a + 5$，
将$a^2 - 3a = 10$代入上式得：原式$=10 + 5 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，核心是利用方程的解的性质得到所求代数式中含有的整体式子的值，避免求解方程根的繁琐计算，是代数求值类的基础题型。
【难度系数】
0.85

8. 阅读下面的材料，然后完成相应任务。
方程$x^2 - 4x -1=0$两边同时除以$x(x≠0)$，得
$x -4 - \frac{1}{x}=0$，即$x - \frac{1}{x}=4$。
因为$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2}$$2$，
所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 +2=18$。
任务：
(1)已知方程$x^2 -3x -1=0$，则$x - \frac{1}{x}=$。
(2)若$m$是方程$3x^2 -7x +3=0$的解，求$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值。

8. 解:(1)3
(2)由条件可知$ 3m^2 - 7m + 3 = 0 $，
两边同时除以$ 3m (m ≠ 0) $,得$ m - \frac{7}{3} + \frac{1}{m} = 0 $，
$ \therefore m + \frac{1}{m} = \frac{7}{3},\therefore (m + \frac{1}{m})^2 = (\frac{7}{3})^2 $，
$ \therefore m^2 + 2 + \frac{1}{m^2} = \frac{49}{9},\therefore m^2 + \frac{1}{m^2} = \frac{31}{9} $。

【分析】
本题属于材料阅读类题型，解题思路可仿照材料给出的方法推导：
(1) 首先判断方程$x^2-3x-1=0$中$x$不可能为0（$x=0$时左边$=-1≠0$），因此可将方程两边同时除以$x$，整理即可得到$x-\frac{1}{x}$的值；
(2) 先根据一元二次方程根的定义，将$m$代入方程得$3m^2-7m+3=0$，判断$m≠0$后两边除以$3m$，得到$m+\frac{1}{m}$的值，再利用完全平方公式变形，即可求出$m^2+\frac{1}{m^2}$的值。
【解析】
(1) 已知$x^2-3x-1=0$，显然$x≠0$（若$x=0$，方程左边$=-1≠0$，不成立），将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 3 - \frac{1}{x}=0$，移项得$x - \frac{1}{x}=3$。
(2)
∵$m$是方程$3x^2-7x+3=0$的解，
∴$3m^2 -7m +3=0$，显然$m≠0$（若$m=0$，方程左边$=3≠0$，不成立），
将方程两边同时除以$3m$，得：$m - \frac{7}{3} + \frac{1}{m}=0$，
∴$m + \frac{1}{m}=\frac{7}{3}$，
将等式两边同时平方得：$(m+\frac{1}{m})^2=(\frac{7}{3})^2$，
根据完全平方公式展开左边：$m^2 + 2· m· \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}=\frac{49}{9}$，即$m^2 + 2 + \frac{1}{m^2}=\frac{49}{9}$，
移项得：$m^2 + \frac{1}{m^2}=\frac{49}{9} - 2=\frac{31}{9}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\dfrac{31}{9}}$
【知识点】
完全平方公式变形；一元二次方程的根；分式运算
【点评】
本题考查阅读材料迁移应用能力，解题关键是读懂材料中的变形方法，注意给方程两边除以含未知数的式子时，必须先确认该式子不为0，再结合完全平方公式的恒等变形求解代数式的值。
【难度系数】
0.7