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二、拓展性作业
9. 要剪一块面积为150 cm²的矩形铁片，使它的长比宽多5 cm，这块铁片应该怎样剪？设长为x cm，则宽为(x－5) cm，列方程为x(x－5)＝150，即x²－5x－150＝0。
请根据所列方程回答以下问题：
(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由。
(2)完成表2-1-2。
表2-1-2
(3)你知道铁片的长是多少吗？
9. 要剪一块面积为150 cm²的矩形铁片，使它的长比宽多5 cm，这块铁片应该怎样剪？设长为x cm，则宽为(x－5) cm，列方程为x(x－5)＝150，即x²－5x－150＝0。
请根据所列方程回答以下问题：
(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由。
(2)完成表2-1-2。
表2-1-2
(3)你知道铁片的长是多少吗？
答案
9. 解:(1)由宽为$ (x-5)\mathrm{cm} $知,$ x-5＞0 $,则$ x＞5 $,即$ x $不可能小于5。
由$ x(x-5)=150 $知,当$ x=10 $时,$ x(x-5)=50 $,即$ x $不可能等于10。
即这块铁片的长不可能小于5 cm,不可能等于10 cm。
(2)如答表2-1-1：
答表2-1-1
| $x$ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x-150$ | $-100$ | $-84$ | $-66$ | $-46$ | $-24$ | $0$ | $26$ | $54$ | $\dots$ |
(3)由(2)知,$ x=15 $,$ \therefore $铁片的长是15 cm。
由$ x(x-5)=150 $知,当$ x=10 $时,$ x(x-5)=50 $,即$ x $不可能等于10。
即这块铁片的长不可能小于5 cm,不可能等于10 cm。
(2)如答表2-1-1：
答表2-1-1
| $x$ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x-150$ | $-100$ | $-84$ | $-66$ | $-46$ | $-24$ | $0$ | $26$ | $54$ | $\dots$ |
(3)由(2)知,$ x=15 $,$ \therefore $铁片的长是15 cm。
解析
【分析】
本题围绕矩形面积的实际问题展开，解题思路如下：
(1)判断x的取值时，首先结合矩形边长为正的实际意义，可得宽$x-5$必须大于0，即可判断x和5的大小关系；再将$x=10$代入面积公式计算，和实际面积150对比即可判断x能否等于10。
(2)完成表格只需将对应的x值逐一代入代数式$x^2-5x-150$，按运算规则计算出结果即可。
(3)方程$x^2-5x-150=0$的解就是使代数式值为0的x，结合表格结果，同时满足$x＞5$的实际要求的x就是铁片的长。
【解析】
(1) 因为矩形的宽为$(x-5)\mathrm{cm}$，边长必须为正数，因此$x-5＞0$，解得$x＞5$，所以x不可能小于5；
将$x=10$代入面积表达式$x(x-5)$，得$10×(10-5)=50≠150$，不满足面积为$150\mathrm{cm}^2$的要求，因此x不可能等于10。
(2) 将各x值代入$x^2-5x-150$计算：
$x=10$时，原式$=10^2-5×10-150=100-50-150=-100$；
$x=11$时，原式$=11^2-5×11-150=121-55-150=-84$；
$x=12$时，原式$=12^2-5×12-150=144-60-150=-66$；
$x=13$时，原式$=13^2-5×13-150=169-65-150=-46$；
$x=14$时，原式$=14^2-5×14-150=196-70-150=-24$；
$x=15$时，原式$=15^2-5×15-150=225-75-150=0$；
$x=16$时，原式$=16^2-5×16-150=256-80-150=26$；
$x=17$时，原式$=17^2-5×17-150=289-85-150=54$。
(3) 由表格可知，当$x=15$时，$x^2-5x-150=0$，即满足方程$x(x-5)=150$，同时$x=15＞5$符合边长为正的要求，因此铁片的长为15cm。
【答案】
(1)x不可能小于5，也不可能等于10，理由见解析；
(2)表格中$x^2-5x-150$对应值依次为：$-100$，$-84$，$-66$，$-46$，$-24$，$0$，$26$，$54$；
(3)铁片的长是15 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用，代数式求值，一元二次方程的解
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的相关知识，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义，通过代入计算的方法可以逐步估算出方程的解，体现了数学知识和实际生活的联系。
【难度系数】
0.8
本题围绕矩形面积的实际问题展开，解题思路如下：
(1)判断x的取值时，首先结合矩形边长为正的实际意义，可得宽$x-5$必须大于0，即可判断x和5的大小关系；再将$x=10$代入面积公式计算，和实际面积150对比即可判断x能否等于10。
(2)完成表格只需将对应的x值逐一代入代数式$x^2-5x-150$，按运算规则计算出结果即可。
(3)方程$x^2-5x-150=0$的解就是使代数式值为0的x，结合表格结果，同时满足$x＞5$的实际要求的x就是铁片的长。
【解析】
(1) 因为矩形的宽为$(x-5)\mathrm{cm}$，边长必须为正数，因此$x-5＞0$，解得$x＞5$，所以x不可能小于5；
将$x=10$代入面积表达式$x(x-5)$，得$10×(10-5)=50≠150$，不满足面积为$150\mathrm{cm}^2$的要求，因此x不可能等于10。
(2) 将各x值代入$x^2-5x-150$计算：
$x=10$时，原式$=10^2-5×10-150=100-50-150=-100$；
$x=11$时，原式$=11^2-5×11-150=121-55-150=-84$；
$x=12$时，原式$=12^2-5×12-150=144-60-150=-66$；
$x=13$时，原式$=13^2-5×13-150=169-65-150=-46$；
$x=14$时，原式$=14^2-5×14-150=196-70-150=-24$；
$x=15$时，原式$=15^2-5×15-150=225-75-150=0$；
$x=16$时，原式$=16^2-5×16-150=256-80-150=26$；
$x=17$时，原式$=17^2-5×17-150=289-85-150=54$。
(3) 由表格可知，当$x=15$时，$x^2-5x-150=0$，即满足方程$x(x-5)=150$，同时$x=15＞5$符合边长为正的要求，因此铁片的长为15cm。
【答案】
(1)x不可能小于5，也不可能等于10，理由见解析；
(2)表格中$x^2-5x-150$对应值依次为：$-100$，$-84$，$-66$，$-46$，$-24$，$0$，$26$，$54$；
(3)铁片的长是15 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用，代数式求值，一元二次方程的解
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的相关知识，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义，通过代入计算的方法可以逐步估算出方程的解，体现了数学知识和实际生活的联系。
【难度系数】
0.8
10. 定义:如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(c ≠ 0) $ 有一个根是 $ c $,那么我们称这个方程为“C方程”。
(1)判断一元二次方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 是否为“C方程”,请说明理由；
(2)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 4x^2 + bx + c = 0(c ≠ 0) $ 是“C方程”,求代数式 $ (b + 4c)^2 - 1 $ 的值。
(1)判断一元二次方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 是否为“C方程”,请说明理由；
(2)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 4x^2 + bx + c = 0(c ≠ 0) $ 是“C方程”,求代数式 $ (b + 4c)^2 - 1 $ 的值。
答案
10. 解:(1)是“C方程”。理由如下：
$ \because x^2 - 4x + 3 = 0,c=3 $,将$ x=3 $代入方程,方程成立，
$ \therefore $ 一元二次方程$ x^2 - 4x + 3 = 0 $是“C方程”。
(2)$ \because $ 关于$ x $ 的一元二次方程$ 4x^2 + bx + c = 0(c ≠ 0) $是“C方程”,$ \therefore 4c^2 + bc + c = 0 $。
$ \because c ≠ 0,\therefore b + 4c = -1 $，
$ \therefore (b + 4c)^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0 $。
$ \because x^2 - 4x + 3 = 0,c=3 $,将$ x=3 $代入方程,方程成立，
$ \therefore $ 一元二次方程$ x^2 - 4x + 3 = 0 $是“C方程”。
(2)$ \because $ 关于$ x $ 的一元二次方程$ 4x^2 + bx + c = 0(c ≠ 0) $是“C方程”,$ \therefore 4c^2 + bc + c = 0 $。
$ \because c ≠ 0,\therefore b + 4c = -1 $，
$ \therefore (b + 4c)^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0 $。
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“C方程”的定义：关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(c≠0)$有一个根是$c$。
（1）第一问先确定所给方程的常数项$c$的值，再将$x=c$代入方程验证左右两边是否相等，若相等则符合“C方程”的定义。
（2）第二问根据“C方程”的定义，先把$x=c$代入给定方程得到关于$b$、$c$的等式，结合$c≠0$的条件变形求出$b+4c$的值，再整体代入所求代数式计算即可。
【解析】
（1）是“C方程”，理由如下：
一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$中，常数项$c=3$，
将$x=3$代入方程左边：$3^2 - 4×3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$，与方程右边相等，
即$x=3$是该方程的根，符合“C方程”的定义，因此该方程是“C方程”。
（2）$\because$关于$x$的一元二次方程$4x^2 + bx + c = 0(c≠0)$是“C方程”，
$\therefore x=c$是该方程的根，将$x=c$代入方程得：$4c^2 + bc + c = 0$，
$\because c≠0$，等式两边同时除以$c$可得：$4c + b + 1 = 0$，
整理得$b + 4c = -1$，
将$b + 4c = -1$代入代数式得：$(b + 4c)^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0$。
【答案】
（1）是“C方程”，理由见解析；（2）$0$
【知识点】
新定义问题、一元二次方程的根的定义、代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，将其转化为已学的一元二次方程根的性质求解，计算过程中注意整体代入思想的运用。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要准确理解“C方程”的定义：关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(c≠0)$有一个根是$c$。
（1）第一问先确定所给方程的常数项$c$的值，再将$x=c$代入方程验证左右两边是否相等，若相等则符合“C方程”的定义。
（2）第二问根据“C方程”的定义，先把$x=c$代入给定方程得到关于$b$、$c$的等式，结合$c≠0$的条件变形求出$b+4c$的值，再整体代入所求代数式计算即可。
【解析】
（1）是“C方程”，理由如下：
一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$中，常数项$c=3$，
将$x=3$代入方程左边：$3^2 - 4×3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$，与方程右边相等，
即$x=3$是该方程的根，符合“C方程”的定义，因此该方程是“C方程”。
（2）$\because$关于$x$的一元二次方程$4x^2 + bx + c = 0(c≠0)$是“C方程”，
$\therefore x=c$是该方程的根，将$x=c$代入方程得：$4c^2 + bc + c = 0$，
$\because c≠0$，等式两边同时除以$c$可得：$4c + b + 1 = 0$，
整理得$b + 4c = -1$，
将$b + 4c = -1$代入代数式得：$(b + 4c)^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0$。
【答案】
（1）是“C方程”，理由见解析；（2）$0$
【知识点】
新定义问题、一元二次方程的根的定义、代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，将其转化为已学的一元二次方程根的性质求解，计算过程中注意整体代入思想的运用。
【难度系数】
0.8
