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8. 如图1-8，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF。
(1)求证：$△ ADE ≌ △ CBF$。
(2)若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长。
图1-8
(1)求证：$△ ADE ≌ △ CBF$。
(2)若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长。
图1-8
答案
8. (1)证明:
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD=BC,BC//AD,
∴∠ADE=∠CBF。
在$△ADE$ 和$△CBF$ 中,$\begin{cases} AD=CB,\\ ∠ ADE=∠ CBF,\\ DE=BF, \end{cases}$
∴$△ADE≌△CBF(\mathrm{SAS})$。
(2)解:如答图1-3,连接 AC 交 BD 于点 O。
∵四边形 ABCD 为正方形,BD=10，
∴BD 垂直平分 AC,$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=5$，
∴AF=CF,AE=CE。
由(1)可知,$△ADE≌△CBF$，
∴AE=CF ,
∴AF=CF=AE=CE，
∴四边形 AECF 是菱形，
∴OF=OE ,
∴EF=2OF。
∵四边形 AECF 的周长为 $4\sqrt{34}$,
∴$4AF=4\sqrt{34}$，
∴$AF=\sqrt{34}$。
在$\mathrm{Rt}△AOF$ 中,由勾股定理得,$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=3$，
∴EF=2OF=6,即 EF 的长为 6。
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形全等，优先寻找对应边和对应角的相等关系：由正方形的性质可得AD=BC，且AD//BC可推出∠ADE=∠CBF，再结合已知DE=BF，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求EF的长度，可利用正方形对角线的性质添加辅助线：连接AC交BD于点O，可知AC与BD互相垂直平分，先推导出四边形AECF是菱形，根据周长求出菱形的边长，再在直角三角形AOF中利用勾股定理求出OF的长度，最后由EF=2OF得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases} AD=CB,\\ ∠ ADE=∠ CBF,\\ DE=BF, \end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：如答图1-3，连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD为正方形，BD=10，
∴BD垂直平分AC，$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=5$，
∴AF=CF，AE=CE。
由(1)可知$△ ADE≌△ CBF$，
∴AE=CF，
∴AF=CF=AE=CE，即四边形AECF是菱形，
∴OE=OF，故EF=2OF。
∵四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，
∴$4AF=4\sqrt{34}$，解得$AF=\sqrt{34}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=\sqrt{34-25}=3$，
∴EF=2OF=6，即EF的长为6。
【答案】
(1) $△ ADE≌△ CBF$，证明成立；
(2) $\boxed{6}$，辅助线如图
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了正方形、全等三角形、菱形的判定和勾股定理的应用，解题关键是合理添加辅助线，利用特殊图形的性质转化线段关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两个三角形全等，优先寻找对应边和对应角的相等关系：由正方形的性质可得AD=BC，且AD//BC可推出∠ADE=∠CBF，再结合已知DE=BF，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求EF的长度，可利用正方形对角线的性质添加辅助线：连接AC交BD于点O，可知AC与BD互相垂直平分，先推导出四边形AECF是菱形，根据周长求出菱形的边长，再在直角三角形AOF中利用勾股定理求出OF的长度，最后由EF=2OF得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases} AD=CB,\\ ∠ ADE=∠ CBF,\\ DE=BF, \end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：如答图1-3，连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD为正方形，BD=10，
∴BD垂直平分AC，$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=5$，
∴AF=CF，AE=CE。
由(1)可知$△ ADE≌△ CBF$，
∴AE=CF，
∴AF=CF=AE=CE，即四边形AECF是菱形，
∴OE=OF，故EF=2OF。
∵四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，
∴$4AF=4\sqrt{34}$，解得$AF=\sqrt{34}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=\sqrt{34-25}=3$，
∴EF=2OF=6，即EF的长为6。
【答案】
(1) $△ ADE≌△ CBF$，证明成立；
(2) $\boxed{6}$，辅助线如图
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了正方形、全等三角形、菱形的判定和勾股定理的应用，解题关键是合理添加辅助线，利用特殊图形的性质转化线段关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图1-9，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC=3BE，BE=CF，AE与BF相交于点G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为
9. 如图1-9，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC=3BE，BE=CF，AE与BF相交于点G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为
$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
。答案
9.$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
解题可按以下思路进行：首先根据正方形边长和线段比例关系求出BE、CF的长度，再通过建立平面直角坐标系，确定各已知点的坐标；接着分别求出直线AE、BF的解析式，联立解析式得到交点G的坐标；再根据O是BD中点求出O点坐标，最后用两点间距离公式即可算出OG的长度。也可先通过证明△ABE≌△BCF得到AE⊥BF，为后续计算做铺垫，用坐标法能将几何问题转化为代数计算，降低思考难度。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为6，$BC=3BE$，
∴$BE=6÷3=2$，又
∵$BE=CF$，
∴$CF=2$。
以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，各点坐标为：$B(0,0)$，$A(0,6)$，$E(2,0)$，$F(6,2)$，$D(6,6)$。
∵O是对角线BD的中点，
∴O点坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+6}{2})$，即$(3,3)$。
设直线AE的解析式为$y=k_1x+b$，代入$A(0,6)$、$E(2,0)$得：
$\begin{cases}b=6\\2k_1+6=0\end{cases}$，解得$k_1=-3$，即直线AE：$y=-3x+6$。
设直线BF的解析式为$y=k_2x$，代入$F(6,2)$得：$6k_2=2$，解得$k_2=\frac{1}{3}$，即直线BF：$y=\frac{1}{3}x$。
联立两直线方程：
$\begin{cases}y=-3x+6\\y=\frac{1}{3}x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{9}{5}\\y=\frac{3}{5}\end{cases}$，即$G(\frac{9}{5},\frac{3}{5})$。
根据两点间距离公式计算OG：
$OG=\sqrt{(3-\frac{9}{5})^2+(3-\frac{3}{5})^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{36+144}{25}}=\sqrt{\frac{180}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，一次函数的应用，两点间距离公式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，既可以用纯几何方法求解，也可以通过建系转化为代数计算，解题时可灵活选择方法，核心是熟练掌握正方形的性质和一次函数的相关应用。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路进行：首先根据正方形边长和线段比例关系求出BE、CF的长度，再通过建立平面直角坐标系，确定各已知点的坐标；接着分别求出直线AE、BF的解析式，联立解析式得到交点G的坐标；再根据O是BD中点求出O点坐标，最后用两点间距离公式即可算出OG的长度。也可先通过证明△ABE≌△BCF得到AE⊥BF，为后续计算做铺垫，用坐标法能将几何问题转化为代数计算，降低思考难度。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为6，$BC=3BE$，
∴$BE=6÷3=2$，又
∵$BE=CF$，
∴$CF=2$。
以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，各点坐标为：$B(0,0)$，$A(0,6)$，$E(2,0)$，$F(6,2)$，$D(6,6)$。
∵O是对角线BD的中点，
∴O点坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+6}{2})$，即$(3,3)$。
设直线AE的解析式为$y=k_1x+b$，代入$A(0,6)$、$E(2,0)$得：
$\begin{cases}b=6\\2k_1+6=0\end{cases}$，解得$k_1=-3$，即直线AE：$y=-3x+6$。
设直线BF的解析式为$y=k_2x$，代入$F(6,2)$得：$6k_2=2$，解得$k_2=\frac{1}{3}$，即直线BF：$y=\frac{1}{3}x$。
联立两直线方程：
$\begin{cases}y=-3x+6\\y=\frac{1}{3}x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{9}{5}\\y=\frac{3}{5}\end{cases}$，即$G(\frac{9}{5},\frac{3}{5})$。
根据两点间距离公式计算OG：
$OG=\sqrt{(3-\frac{9}{5})^2+(3-\frac{3}{5})^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{36+144}{25}}=\sqrt{\frac{180}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，一次函数的应用，两点间距离公式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，既可以用纯几何方法求解，也可以通过建系转化为代数计算，解题时可灵活选择方法，核心是熟练掌握正方形的性质和一次函数的相关应用。
【难度系数】
0.6
10. 如图1-10,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,E,F分别为AB,CD的中点。
(1)求证:四边形AEFD是矩形。
(2)如图1-11,点P是边AD上一点,点A关于BP的对称点为点M。
①当点M落在线段EF上时,∠ABP=
②如图1-12,连接AM交BP于点N,连接DM,当△AMD是等腰三角形时,直接写出AN的长。
(1)求证:四边形AEFD是矩形。
(2)如图1-11,点P是边AD上一点,点A关于BP的对称点为点M。
①当点M落在线段EF上时,∠ABP=
$30°$
;②如图1-12,连接AM交BP于点N,连接DM,当△AMD是等腰三角形时,直接写出AN的长。
答案
10. (1)证明:
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD ,AB//CD ,∠A=90°。
∵E,F 分别为 AB,CD 的中点，
∴AE=EB ,DF=FC，
∴AE=DF。又 AE//DF，
∴四边形 AEFD 是平行四边形。
∵∠A=90°,
∴四边形 AEFD 是矩形。
(2)解:①$30°$
②AN 的长为$\sqrt{5}$ 或 4 或$\frac{40\sqrt{89}}{89}$。
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD ,AB//CD ,∠A=90°。
∵E,F 分别为 AB,CD 的中点，
∴AE=EB ,DF=FC，
∴AE=DF。又 AE//DF，
∴四边形 AEFD 是平行四边形。
∵∠A=90°,
∴四边形 AEFD 是矩形。
(2)解:①$30°$
②AN 的长为$\sqrt{5}$ 或 4 或$\frac{40\sqrt{89}}{89}$。
解析
【分析】
（1）要证明四边形AEFD是矩形，先利用矩形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合E、F是AB、CD的中点推出AE与DF平行且相等，先证得四边形AEFD是平行四边形，再结合∠A为直角即可判定其为矩形。
（2）①根据轴对称的性质可知AB=BM，BP平分∠ABM，结合E是AB中点，可得在Rt△BEM中EB=1/2 BM，推出∠ABM=60°，进而得到∠ABP的度数。
②由轴对称性质可知BP垂直平分AM，故N是AM中点，AN=1/2 AM。△AMD为等腰三角形需分三类讨论：AM=AD、AD=MD、AM=MD，结合图形限制条件筛选有效解，分别计算AM长度即可得到AN的长。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD ,AB//CD ,∠A=90°。
∵E,F 分别为 AB,CD 的中点，
∴AE=EB ,DF=FC，
∴AE=DF。又 AE//DF，
∴四边形 AEFD 是平行四边形。
∵∠A=90°,
∴四边形 AEFD 是矩形。
(2)① 连接BM，
∵点A与点M关于BP对称，
∴BP垂直平分AM，AB=BM=5，∠ABP=∠MBP。
∵E是AB中点，
∴BE=1/2 AB=2.5。
由(1)知四边形AEFD是矩形，
∴EF⊥AB，即∠BEM=90°。
在Rt△BEM中，BE=1/2 BM，
∴∠BME=30°，∠EBM=60°，
∴∠ABP=1/2 ∠EBM=30°。
② 由轴对称性质得：BP垂直平分AM，
∴AN=NM=1/2 AM，AB=BM=5。分三种情况讨论：
i. 当AM=AD=8时，AN=1/2 AM=4；
ii. 当AM=MD时，M在AD的垂直平分线上，结合AB=BM=5，计算得AM=2√5，故AN=√5（若M在矩形外侧则对应点P在AD延长线上，不符合题意舍去）；
iii. 当AD=MD=8时，联立两圆交点求解得AM=80√89/89，故AN=40√89/89。
综上，AN的长为√5或4或40√89/89。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ①$30°$；②$\sqrt{5}$ 或 $4$ 或 $\frac{40\sqrt{89}}{89}$
【知识点】
矩形的判定与性质；轴对称的性质；等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查了常见几何图形的性质和分类讨论思想，基础问难度较低，最后一问需要考虑等腰三角形的所有可能情况，同时要注意题目中“点P在边AD上”的限制条件，避免出现增解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
（1）要证明四边形AEFD是矩形，先利用矩形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合E、F是AB、CD的中点推出AE与DF平行且相等，先证得四边形AEFD是平行四边形，再结合∠A为直角即可判定其为矩形。
（2）①根据轴对称的性质可知AB=BM，BP平分∠ABM，结合E是AB中点，可得在Rt△BEM中EB=1/2 BM，推出∠ABM=60°，进而得到∠ABP的度数。
②由轴对称性质可知BP垂直平分AM，故N是AM中点，AN=1/2 AM。△AMD为等腰三角形需分三类讨论：AM=AD、AD=MD、AM=MD，结合图形限制条件筛选有效解，分别计算AM长度即可得到AN的长。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD ,AB//CD ,∠A=90°。
∵E,F 分别为 AB,CD 的中点，
∴AE=EB ,DF=FC，
∴AE=DF。又 AE//DF，
∴四边形 AEFD 是平行四边形。
∵∠A=90°,
∴四边形 AEFD 是矩形。
(2)① 连接BM，
∵点A与点M关于BP对称，
∴BP垂直平分AM，AB=BM=5，∠ABP=∠MBP。
∵E是AB中点，
∴BE=1/2 AB=2.5。
由(1)知四边形AEFD是矩形，
∴EF⊥AB，即∠BEM=90°。
在Rt△BEM中，BE=1/2 BM，
∴∠BME=30°，∠EBM=60°，
∴∠ABP=1/2 ∠EBM=30°。
② 由轴对称性质得：BP垂直平分AM，
∴AN=NM=1/2 AM，AB=BM=5。分三种情况讨论：
i. 当AM=AD=8时，AN=1/2 AM=4；
ii. 当AM=MD时，M在AD的垂直平分线上，结合AB=BM=5，计算得AM=2√5，故AN=√5（若M在矩形外侧则对应点P在AD延长线上，不符合题意舍去）；
iii. 当AD=MD=8时，联立两圆交点求解得AM=80√89/89，故AN=40√89/89。
综上，AN的长为√5或4或40√89/89。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ①$30°$；②$\sqrt{5}$ 或 $4$ 或 $\frac{40\sqrt{89}}{89}$
【知识点】
矩形的判定与性质；轴对称的性质；等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查了常见几何图形的性质和分类讨论思想，基础问难度较低，最后一问需要考虑等腰三角形的所有可能情况，同时要注意题目中“点P在边AD上”的限制条件，避免出现增解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
