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1. 如图1-1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是(
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形
D
)。A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形
答案
1.D
解析
【分析】
本题以平行四边形为基础，考查特殊平行四边形的判定，解题时需逐一结合各特殊平行四边形的判定定理，分析每个选项给出的条件能推出的图形类型，最终选出结论错误的选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合判定定理逐一分析选项：
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB=BC为平行四边形的一组邻边相等，因此此时它是菱形，该选项结论正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，AC⊥BD满足平行四边形对角线垂直的条件，因此此时它是菱形，该选项结论正确，不符合题意；
C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，∠ABC=90°满足平行四边形有一个直角的条件，因此此时它是矩形，该选项结论正确，不符合题意；
D. 对角线相等的平行四边形是矩形，若要得到正方形，还需额外满足邻边相等或对角线垂直等菱形的判定条件，因此仅AC=BD时，只能判定为矩形，不能判定为正方形，该选项结论错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心是区分各类特殊平行四边形的判定条件，尤其要注意正方形需要同时满足矩形和菱形的判定要求，避免混淆不同特殊平行四边形的判定差异。
【难度系数】
0.8
本题以平行四边形为基础，考查特殊平行四边形的判定，解题时需逐一结合各特殊平行四边形的判定定理，分析每个选项给出的条件能推出的图形类型，最终选出结论错误的选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合判定定理逐一分析选项：
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB=BC为平行四边形的一组邻边相等，因此此时它是菱形，该选项结论正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，AC⊥BD满足平行四边形对角线垂直的条件，因此此时它是菱形，该选项结论正确，不符合题意；
C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，∠ABC=90°满足平行四边形有一个直角的条件，因此此时它是矩形，该选项结论正确，不符合题意；
D. 对角线相等的平行四边形是矩形，若要得到正方形，还需额外满足邻边相等或对角线垂直等菱形的判定条件，因此仅AC=BD时，只能判定为矩形，不能判定为正方形，该选项结论错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心是区分各类特殊平行四边形的判定条件，尤其要注意正方形需要同时满足矩形和菱形的判定要求，避免混淆不同特殊平行四边形的判定差异。
【难度系数】
0.8
2. 如图1-2，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且$a// b$，$∠ 1=50°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
C
）。A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
2.C
解析
【分析】
本题需结合矩形的性质和平行线的性质求解。首先回忆相关性质：矩形的对边互相平行，两直线平行时内错角相等。解题时先利用矩形对边平行的性质得到一组平行线，再结合已知的$a// b$，通过平行线的性质找到$∠1$和$∠2$的等量关系，即可求出$∠2$的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
又
∵$a// b$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠2=∠1$，
已知$∠1=50°$，
∴$∠2=50°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题需结合矩形的性质和平行线的性质求解。首先回忆相关性质：矩形的对边互相平行，两直线平行时内错角相等。解题时先利用矩形对边平行的性质得到一组平行线，再结合已知的$a// b$，通过平行线的性质找到$∠1$和$∠2$的等量关系，即可求出$∠2$的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
又
∵$a// b$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠2=∠1$，
已知$∠1=50°$，
∴$∠2=50°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图1-3所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A，E间的距离。菱形的边长$AB=20\ \mathrm{cm}$，若A，E间的距离调节到60 cm，则$∠ DAB$的度数是（
A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）。A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先结合三个全等菱形的特征，明确A、E间的距离与单个菱形对应对角线的关系，逐步推导角度：①三个全等菱形拼接，AE长度等于3倍单个菱形沿AE方向的对角线长度，先计算单条对角线的长度；②对比对角线长度和菱形边长，发现二者相等，可判断对角线和两条邻边构成等边三角形，得到菱形的一个内角度数；③利用菱形邻角互补的性质即可求出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵ 三个菱形全等，
∴ A、E间的距离等于3倍单个菱形沿AE方向的对角线长度。
已知$ AE=60\ \mathrm{cm} $，因此单个菱形的该对角线长度为 $ 60÷3=20\ \mathrm{cm} $。
又
∵ 菱形的边长$ AB=20\ \mathrm{cm} $，且菱形四条边长度相等，
∴ 该对角线与菱形的两条邻边构成边长为20cm的等边三角形，可得该等边三角形的内角为$ 60° $，即菱形中与$ ∠ DAB $相邻的内角为$ 60° $。
∵ 菱形的邻角互补，
∴ $ ∠ DAB=180° - 60°=120° $。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等图形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何性质的应用，解题核心是找准拼接后总长与单条菱形对角线的数量关系，再结合基础几何性质推导角度，注重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合三个全等菱形的特征，明确A、E间的距离与单个菱形对应对角线的关系，逐步推导角度：①三个全等菱形拼接，AE长度等于3倍单个菱形沿AE方向的对角线长度，先计算单条对角线的长度；②对比对角线长度和菱形边长，发现二者相等，可判断对角线和两条邻边构成等边三角形，得到菱形的一个内角度数；③利用菱形邻角互补的性质即可求出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵ 三个菱形全等，
∴ A、E间的距离等于3倍单个菱形沿AE方向的对角线长度。
已知$ AE=60\ \mathrm{cm} $，因此单个菱形的该对角线长度为 $ 60÷3=20\ \mathrm{cm} $。
又
∵ 菱形的边长$ AB=20\ \mathrm{cm} $，且菱形四条边长度相等，
∴ 该对角线与菱形的两条邻边构成边长为20cm的等边三角形，可得该等边三角形的内角为$ 60° $，即菱形中与$ ∠ DAB $相邻的内角为$ 60° $。
∵ 菱形的邻角互补，
∴ $ ∠ DAB=180° - 60°=120° $。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等图形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何性质的应用，解题核心是找准拼接后总长与单条菱形对角线的数量关系，再结合基础几何性质推导角度，注重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
4. 如图1-4，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE。若∠BAE=56°，则∠ECF=
图1-4 图1-5
$34°$
。 图1-4 图1-5
答案
4.$34°$
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质思考：正方形的对角线平分一组对角，且四条边相等，因此可借助对角线BD上的公共边DE，证明△ADE与△CDE全等，将待求的∠ECF转化为与已知∠BAE相关的角；再利用正方形内角为90°，计算出∠DAE的度数，即可得到∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠BAD=90°，对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°。
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE=∠DAE。
∵∠BAE=56°，
∴∠DAE=∠BAD - ∠BAE=90°-56°=34°，
∴∠DCE=34°，即∠ECF=34°。
【答案】
$34°$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是利用正方形对角线的特性构造全等三角形，实现角度的等量转化，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形的性质思考：正方形的对角线平分一组对角，且四条边相等，因此可借助对角线BD上的公共边DE，证明△ADE与△CDE全等，将待求的∠ECF转化为与已知∠BAE相关的角；再利用正方形内角为90°，计算出∠DAE的度数，即可得到∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠BAD=90°，对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°。
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE=∠DAE。
∵∠BAE=56°，
∴∠DAE=∠BAD - ∠BAE=90°-56°=34°，
∴∠DCE=34°，即∠ECF=34°。
【答案】
$34°$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是利用正方形对角线的特性构造全等三角形，实现角度的等量转化，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图1-5，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是
$\frac{7}{4}$
。答案
5.$\frac{7}{4}$
解析
【分析】
解题时先利用矩形对角线互相平分的性质，结合EF⊥AC可得EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知CE=AE，此时可设DE的长为x，将AE、CE都用含x的式子表示，再在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，OA=OC（矩形对角线互相平分），
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴CE=AE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
设DE=x，则AE=AD-DE=8-x，
∴CE=8-x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$CD^2 + DE^2 = CE^2$，
代入数值得：$6^2 + x^2 = (8-x)^2$，
展开整理得：$36 + x^2 = 64 - 16x + x^2$，
消去$x^2$后移项得：$16x = 64 - 36 = 28$，
解得：$x = \frac{28}{16} = \frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合垂直平分线的性质将线段进行转化，再利用勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形对角线互相平分的性质，结合EF⊥AC可得EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知CE=AE，此时可设DE的长为x，将AE、CE都用含x的式子表示，再在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，OA=OC（矩形对角线互相平分），
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴CE=AE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
设DE=x，则AE=AD-DE=8-x，
∴CE=8-x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$CD^2 + DE^2 = CE^2$，
代入数值得：$6^2 + x^2 = (8-x)^2$，
展开整理得：$36 + x^2 = 64 - 16x + x^2$，
消去$x^2$后移项得：$16x = 64 - 36 = 28$，
解得：$x = \frac{28}{16} = \frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合垂直平分线的性质将线段进行转化，再利用勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
6. 如图1-6，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，求证:AP=EF。
图1-6
图1-6
答案
6. 证明:如答图1-1,连接 PC,AC。
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE=90°, BD 垂直平分 AC，
∴AP=PC。
又
∵PE⊥BC , PF⊥DC，
∴∠CFP=∠PEC=90°，
∴四边形 PECF 是矩形，
∴PC=EF ,
∴AP=EF。
解析
【分析】
要证明AP=EF，直接推导两条线段的等量关系条件不足，可通过寻找中间线段做等量代换求解。首先结合正方形的性质：正方形的对角线BD垂直平分AC，因此BD上的点P到线段AC两端点的距离相等，即AP=PC；再观察PE⊥BC、PF⊥DC，且正方形内角∠C为直角，可判定四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等的性质可得PC=EF，以PC为中间量即可证得AP=EF，解题时先连接PC、AC作为辅助线逐步推导即可。
【解析】
证明：如答图1-1，连接PC、AC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCE=90°，BD垂直平分AC，
∵点P在BD上，
∴AP=PC。
又
∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴∠CFP=∠PEC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF。
【答案】
证明:如答图1-1,连接 PC,AC。
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE=90°, BD 垂直平分 AC，
∴AP=PC。
又
∵PE⊥BC , PF⊥DC，
∴∠CFP=∠PEC=90°，
∴四边形 PECF 是矩形，
∴PC=EF ,
∴AP=EF。
【知识点】
正方形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是特殊四边形性质应用的基础证明题，解题核心是合理添加辅助线，通过中间线段PC建立待证线段AP和EF的等量关系，熟练掌握特殊四边形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要证明AP=EF，直接推导两条线段的等量关系条件不足，可通过寻找中间线段做等量代换求解。首先结合正方形的性质：正方形的对角线BD垂直平分AC，因此BD上的点P到线段AC两端点的距离相等，即AP=PC；再观察PE⊥BC、PF⊥DC，且正方形内角∠C为直角，可判定四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等的性质可得PC=EF，以PC为中间量即可证得AP=EF，解题时先连接PC、AC作为辅助线逐步推导即可。
【解析】
证明：如答图1-1，连接PC、AC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCE=90°，BD垂直平分AC，
∵点P在BD上，
∴AP=PC。
又
∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴∠CFP=∠PEC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF。
【答案】
证明:如答图1-1,连接 PC,AC。
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE=90°, BD 垂直平分 AC，
∴AP=PC。
又
∵PE⊥BC , PF⊥DC，
∴∠CFP=∠PEC=90°，
∴四边形 PECF 是矩形，
∴PC=EF ,
∴AP=EF。
【知识点】
正方形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是特殊四边形性质应用的基础证明题，解题核心是合理添加辅助线，通过中间线段PC建立待证线段AP和EF的等量关系，熟练掌握特殊四边形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
7. 如图1-7，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D为AB的中点，连接CD，且$AE// CD$，$CE// AB$。
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若$∠ B=60°$，$BC=6$，求四边形ADCE的面积。
图1-7
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若$∠ B=60°$，$BC=6$，求四边形ADCE的面积。
图1-7
答案
7. (1)证明:
∵∠ACB=90°,D 为 AB 的中点，
∴AD=CD=BD。
∵AE//CD ,CE//AB，
∴四边形 ADCE 是平行四边形。
又 AD=CD，
∴四边形 ADCE 是菱形。
(2)解:如答图1-2,连接 DE。
∵四边形 ADCE 是菱形，
∴AD=CE ,
∴BD=CE。
∵CE//AB，
∴四边形 BCED 是平行四边形,
∴DE=BC=6。
∵∠B=60°,∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°,
∴AB=2BC=12，
∴由勾股定理得 $AC=6\sqrt{3}$，
∴$S_{\mathrm{菱形}ADCE}=\frac{AC· DE}{2}=\frac{6×6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$。
解析
【分析】
（1）要证明四边形ADCE是菱形，首先根据已知的两组对边分别平行，可先判定该四边形是平行四边形；再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到邻边AD=CD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
（2）求菱形ADCE的面积，可利用“菱形面积等于对角线乘积的一半”的公式求解，因此需要先求出两条对角线AC、DE的长度：先根据Rt△ABC的已知条件，结合直角三角形的性质求出AC的长；再证明四边形BCED是平行四边形，得到DE=BC，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明:
∵∠ACB=90°,D 为 AB 的中点，
∴AD=CD=BD。
∵AE//CD ,CE//AB，
∴四边形 ADCE 是平行四边形。
又 AD=CD，
∴四边形 ADCE 是菱形。
(2)解:如答图1-2,连接 DE。
∵四边形 ADCE 是菱形，
∴AD=CE ,
∴BD=CE。
∵CE//AB，
∴四边形 BCED 是平行四边形,
∴DE=BC=6。
∵∠B=60°,∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°,
∴AB=2BC=12，
∴由勾股定理得 $AC=6\sqrt{3}$，
∴$S_{\mathrm{菱形}ADCE}=\frac{AC· DE}{2}=\frac{6×6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形ADCE是菱形，证明成立；
(2) 四边形ADCE的面积为$\boldsymbol{18\sqrt{3}}$。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线定理
2. 菱形的判定与性质
3. 菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、平行四边形和菱形的判定与性质，属于常规基础综合题，解题的关键是理清图形中边与边的关系，熟练应用特殊四边形的判定定理和面积计算公式。
【难度系数】
0.65
（1）要证明四边形ADCE是菱形，首先根据已知的两组对边分别平行，可先判定该四边形是平行四边形；再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到邻边AD=CD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
（2）求菱形ADCE的面积，可利用“菱形面积等于对角线乘积的一半”的公式求解，因此需要先求出两条对角线AC、DE的长度：先根据Rt△ABC的已知条件，结合直角三角形的性质求出AC的长；再证明四边形BCED是平行四边形，得到DE=BC，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明:
∵∠ACB=90°,D 为 AB 的中点，
∴AD=CD=BD。
∵AE//CD ,CE//AB，
∴四边形 ADCE 是平行四边形。
又 AD=CD，
∴四边形 ADCE 是菱形。
(2)解:如答图1-2,连接 DE。
∵四边形 ADCE 是菱形，
∴AD=CE ,
∴BD=CE。
∵CE//AB，
∴四边形 BCED 是平行四边形,
∴DE=BC=6。
∵∠B=60°,∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°,
∴AB=2BC=12，
∴由勾股定理得 $AC=6\sqrt{3}$，
∴$S_{\mathrm{菱形}ADCE}=\frac{AC· DE}{2}=\frac{6×6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形ADCE是菱形，证明成立；
(2) 四边形ADCE的面积为$\boldsymbol{18\sqrt{3}}$。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线定理
2. 菱形的判定与性质
3. 菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、平行四边形和菱形的判定与性质，属于常规基础综合题，解题的关键是理清图形中边与边的关系，熟练应用特殊四边形的判定定理和面积计算公式。
【难度系数】
0.65
