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二、拓展性作业
6. 某城市规划展览馆的设计师需要在展厅的四边形屋顶区域设计一个“内接矩形”天窗。如图1-5-8,E,F,G,H 四点分别在四边形 ABCD 的四条边上,若四边形 EFGH 为矩形,我们称矩形 EFGH 为四边形 ABCD 的内接矩形。
(1)如图1-5-9,网格中的每个小四边形都是正方形,由35个小正方形组成矩形 ABCD, E,F 在格点上,请在图1-5-9中画出四边形 ABCD 的内接矩形 EFGH;
(2)如图1-5-10,在平行四边形 ABCD 中, BC=5,∠B=60°,点 E,G 分别在 AB,CD 上,且 BE=DG。
①请你在图中作出其内接矩形 EFGH,使得点 F,H 分别在 BC,AD 边上;(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
②为了节省材料并保证稳定性,天窗支撑结构 EG 的最小值为
6. 某城市规划展览馆的设计师需要在展厅的四边形屋顶区域设计一个“内接矩形”天窗。如图1-5-8,E,F,G,H 四点分别在四边形 ABCD 的四条边上,若四边形 EFGH 为矩形,我们称矩形 EFGH 为四边形 ABCD 的内接矩形。
(1)如图1-5-9,网格中的每个小四边形都是正方形,由35个小正方形组成矩形 ABCD, E,F 在格点上,请在图1-5-9中画出四边形 ABCD 的内接矩形 EFGH;
(2)如图1-5-10,在平行四边形 ABCD 中, BC=5,∠B=60°,点 E,G 分别在 AB,CD 上,且 BE=DG。
①请你在图中作出其内接矩形 EFGH,使得点 F,H 分别在 BC,AD 边上;(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
②为了节省材料并保证稳定性,天窗支撑结构 EG 的最小值为
$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
。答案
6. 解:(1)如答图 1-5-7,内接矩形 EFGH 为所作。
(2)①如答图 1-5-8,内接矩形 EFGH 为所作。②$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
(1) 网格中作内接矩形，可依据矩形“对角线互相平分且相等”的性质，先确定已知点E、F的位置，找到对角线EG、FH的公共中点，再根据格点特征确定AD上的H点和CD上的G点，保证对角线相等且互相平分即可画出矩形。
(2) ①尺规作内接矩形：根据“直径所对的圆周角是直角”的性质，可知矩形的四个顶点都在以对角线EG为直径的圆上，因此先作EG的中点，再以该中点为圆心、EG长的一半为半径作圆，圆与BC、AD的交点即为F、H，顺次连接各点即可得到矩形。②求EG的最小值：由平行四边形性质和BE=DG可推出EG恒过平行四边形的对称中心，根据“垂线段最短”，当EG垂直于BC时，EG的长度最短，此时EG的长度等于平行四边形BC边上的高，结合已知的BC长度和∠B的度数，利用三角函数即可求出高的长度，也就是EG的最小值。
【解析】
(1) 依据矩形对角线互相平分且相等的性质，结合网格格点特征，在AD边上取合适的格点H，CD边上取合适的格点G，顺次连接E、F、G、H，即可得到符合要求的内接矩形EFGH。
(2) ① 连接EG，作EG的垂直平分线得到EG的中点O，以O为圆心，OE长为半径作圆，圆与BC的交点为F、与AD的交点为H，顺次连接E、F、G、H，即可得到所求内接矩形。
② 已知四边形ABCD是平行四边形，且BE=DG，可证EG始终经过平行四边形的对称中心O，且O为EG的中点。根据垂线段最短的规律，当EG⊥BC时，EG长度最小，此时EG的长度等于平行四边形BC边上的高。
已知BC=5，∠B=60°，则BC边上的高为：
$h=BC·\sin∠ B=5×\sin60°=5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
即EG的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1)如答图1-5-7，内接矩形EFGH为所作。
(2)①如答图1-5-8，内接矩形EFGH为所作。②$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
矩形的性质，尺规作图，平行四边形的性质
【点评】
本题结合实际设计场景考查几何作图和性质应用，既需要掌握特殊四边形的性质完成作图，也需要结合垂线段最短的规律求解最值，综合性适中，能有效考查几何知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 网格中作内接矩形，可依据矩形“对角线互相平分且相等”的性质，先确定已知点E、F的位置，找到对角线EG、FH的公共中点，再根据格点特征确定AD上的H点和CD上的G点，保证对角线相等且互相平分即可画出矩形。
(2) ①尺规作内接矩形：根据“直径所对的圆周角是直角”的性质，可知矩形的四个顶点都在以对角线EG为直径的圆上，因此先作EG的中点，再以该中点为圆心、EG长的一半为半径作圆，圆与BC、AD的交点即为F、H，顺次连接各点即可得到矩形。②求EG的最小值：由平行四边形性质和BE=DG可推出EG恒过平行四边形的对称中心，根据“垂线段最短”，当EG垂直于BC时，EG的长度最短，此时EG的长度等于平行四边形BC边上的高，结合已知的BC长度和∠B的度数，利用三角函数即可求出高的长度，也就是EG的最小值。
【解析】
(1) 依据矩形对角线互相平分且相等的性质，结合网格格点特征，在AD边上取合适的格点H，CD边上取合适的格点G，顺次连接E、F、G、H，即可得到符合要求的内接矩形EFGH。
(2) ① 连接EG，作EG的垂直平分线得到EG的中点O，以O为圆心，OE长为半径作圆，圆与BC的交点为F、与AD的交点为H，顺次连接E、F、G、H，即可得到所求内接矩形。
② 已知四边形ABCD是平行四边形，且BE=DG，可证EG始终经过平行四边形的对称中心O，且O为EG的中点。根据垂线段最短的规律，当EG⊥BC时，EG长度最小，此时EG的长度等于平行四边形BC边上的高。
已知BC=5，∠B=60°，则BC边上的高为：
$h=BC·\sin∠ B=5×\sin60°=5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
即EG的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1)如答图1-5-7，内接矩形EFGH为所作。
(2)①如答图1-5-8，内接矩形EFGH为所作。②$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
矩形的性质，尺规作图，平行四边形的性质
【点评】
本题结合实际设计场景考查几何作图和性质应用，既需要掌握特殊四边形的性质完成作图，也需要结合垂线段最短的规律求解最值，综合性适中，能有效考查几何知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
7.【提出问题】小圳是一名传统工艺社的成员，最近在参与设计一款陶瓷盘纹饰，盘子的边缘采用菱形纹样，如图1-5-11。为了使设计更具几何美感，小圳打算在菱形里镶嵌一个等边三角形的琉璃装饰。然而，在绘制设计图时，他遇到了难题：如图1-5-12，若已知菱形ABCD，如何用尺规作出其内接等边三角形AEF(点E,F分别在BC和CD上，且不与点B,C,D重合)呢？
【分析问题】根据平时的学习经验，小圳先尝试探究以下两种特殊情况，请你帮他完成：
(1)如图1-5-13，已知菱形ABCD，用尺规作出它的一个内接等腰三角形AEF。
(2)如图1-5-14，已知菱形ABCD，若$∠ ABC=60°$，请用尺规作出它的内接等边三角形AEF。
【解决问题】结合以上探究过程，解决下面的问题：
(3)如图1-5-15，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的内接等边三角形AEF。
【分析问题】根据平时的学习经验，小圳先尝试探究以下两种特殊情况，请你帮他完成：
(1)如图1-5-13，已知菱形ABCD，用尺规作出它的一个内接等腰三角形AEF。
(2)如图1-5-14，已知菱形ABCD，若$∠ ABC=60°$，请用尺规作出它的内接等边三角形AEF。
【解决问题】结合以上探究过程，解决下面的问题：
(3)如图1-5-15，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的内接等边三角形AEF。
答案
7. 解:(1)如答图 1-5-9,△AEF 为所作。
(2)如答图 1-5-10,△AEF 为所作。
(3)如答图 1-5-11,△AEF 为所作。
解析
【分析】
(1)要作以A为顶点的等腰△AEF，核心是保证两腰AE=AF。利用尺规作等长线段的方法，以A为圆心取合适长度为半径画弧，与BC、CD分别相交即可得到满足AE=AF的E、F点，连接三点即可得到所求等腰三角形。
(2)当∠ABC=60°时，菱形ABCD中AB=BC=CD=AD，△ABC和△ADC均为等边三角形，此时只需构造出∠EAF=60°且AE=AF即可得到等边三角形。可利用菱形对角线AC平分内角的性质，作∠EAC=∠FAC，使两边分别交BC、CD于E、F，即可通过全等得到AE=AF，且∠EAF=60°。
(3)对于一般菱形，可利用菱形AB=AD、∠B=∠D的性质，构造∠BAE=∠DAF，通过△ABE≌△ADF得到AE=AF，再用尺规作60°角使∠EAF=60°，即可得到等边△AEF。
【解析】
(1)作法：①以点A为圆心，取大于点A到BC的距离、小于AB长的长度为半径画弧，分别交BC于点E，交CD于点F（E不与B、C重合，F不与C、D重合）；②依次连接AE、AF、EF，所得△AEF即为所求等腰三角形。
(2)作法：①连接AC，以A为顶点，AC为一边，在AC两侧分别作∠EAC=∠FAC，使∠EAC的边交BC于E，∠FAC的边交CD于F；②连接AE、AF、EF。由菱形性质得∠ACE=∠ACF，又AC为公共边，∠EAC=∠FAC，故△AEC≌△AFC，得AE=AF，又∠BAC=∠CAD=60°，故∠EAF=60°，因此△AEF为所求等边三角形。
(3)作法：①以点A为顶点，AB为一边作∠BAE，再以A为顶点、AD为一边作∠DAF=∠BAE，调整角度大小使AE交BC于E，AF交CD于F，且∠EAF=60°；②连接EF。由AB=AD，∠B=∠D，∠BAE=∠DAF，得△ABE≌△ADF，故AE=AF，又∠EAF=60°，因此△AEF为所求等边三角形。
【答案】
(1)如答图1-5-9,△AEF为所作。
(2)如答图1-5-10,△AEF为所作。
(3)如答图1-5-11,△AEF为所作。
【知识点】
尺规作图；菱形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题结合工艺设计的实际场景考查几何作图能力，从特殊到一般逐步探究作图方法，需要灵活运用等腰、等边三角形和菱形的性质，有助于提升逻辑推理和动手实践能力。
【难度系数】
0.6
(1)要作以A为顶点的等腰△AEF，核心是保证两腰AE=AF。利用尺规作等长线段的方法，以A为圆心取合适长度为半径画弧，与BC、CD分别相交即可得到满足AE=AF的E、F点，连接三点即可得到所求等腰三角形。
(2)当∠ABC=60°时，菱形ABCD中AB=BC=CD=AD，△ABC和△ADC均为等边三角形，此时只需构造出∠EAF=60°且AE=AF即可得到等边三角形。可利用菱形对角线AC平分内角的性质，作∠EAC=∠FAC，使两边分别交BC、CD于E、F，即可通过全等得到AE=AF，且∠EAF=60°。
(3)对于一般菱形，可利用菱形AB=AD、∠B=∠D的性质，构造∠BAE=∠DAF，通过△ABE≌△ADF得到AE=AF，再用尺规作60°角使∠EAF=60°，即可得到等边△AEF。
【解析】
(1)作法：①以点A为圆心，取大于点A到BC的距离、小于AB长的长度为半径画弧，分别交BC于点E，交CD于点F（E不与B、C重合，F不与C、D重合）；②依次连接AE、AF、EF，所得△AEF即为所求等腰三角形。
(2)作法：①连接AC，以A为顶点，AC为一边，在AC两侧分别作∠EAC=∠FAC，使∠EAC的边交BC于E，∠FAC的边交CD于F；②连接AE、AF、EF。由菱形性质得∠ACE=∠ACF，又AC为公共边，∠EAC=∠FAC，故△AEC≌△AFC，得AE=AF，又∠BAC=∠CAD=60°，故∠EAF=60°，因此△AEF为所求等边三角形。
(3)作法：①以点A为顶点，AB为一边作∠BAE，再以A为顶点、AD为一边作∠DAF=∠BAE，调整角度大小使AE交BC于E，AF交CD于F，且∠EAF=60°；②连接EF。由AB=AD，∠B=∠D，∠BAE=∠DAF，得△ABE≌△ADF，故AE=AF，又∠EAF=60°，因此△AEF为所求等边三角形。
【答案】
(1)如答图1-5-9,△AEF为所作。
(2)如答图1-5-10,△AEF为所作。
(3)如答图1-5-11,△AEF为所作。
【知识点】
尺规作图；菱形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题结合工艺设计的实际场景考查几何作图能力，从特殊到一般逐步探究作图方法，需要灵活运用等腰、等边三角形和菱形的性质，有助于提升逻辑推理和动手实践能力。
【难度系数】
0.6
