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1. 在一个边长为$a$的正方形的四个角上各裁去一个等腰直角三角形，得到了一个边长为$b$的正八边形，则$\frac{a}{b}$的值为
$\sqrt{2}+1$
。答案
1. $\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
解题时首先抓住正八边形各边相等、裁去的四个图形为全等等腰直角三角形的特征：第一步设裁去的等腰直角三角形腰长为x，根据等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长b，结合勾股定理可得到x和b的关系；第二步根据原正方形的边长等于2倍等腰直角三角形腰长加正八边形边长b，得到a和x、b的关系，最后消去x即可求出a与b的比值。
【解析】
设裁去的等腰直角三角形的腰长为$ x $。
1. 由正八边形各边相等可知，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长$ b $，根据勾股定理：
$ \sqrt{x^2+x^2}=b $，化简得$ \sqrt{2}x = b $，解得$ x=\frac{\sqrt{2}b}{2} $。
2. 原正方形的边长$ a $满足：$ a = 2x + b $，将$ x=\frac{\sqrt{2}b}{2} $代入得：
$ a = 2×\frac{\sqrt{2}b}{2} + b = \sqrt{2}b + b = b(\sqrt{2}+1) $。
3. 两边同时除以$ b(b≠0) $，得$ \frac{a}{b}=\sqrt{2}+1 $。
【答案】
$ \sqrt{2}+1 $
【知识点】
等腰直角三角形性质；勾股定理；正多边形性质
【点评】
本题属于基础几何推导题，解题核心是梳理清楚不同图形边长之间的等量关系，只要熟练掌握等腰直角三角形和正多边形的基本性质，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住正八边形各边相等、裁去的四个图形为全等等腰直角三角形的特征：第一步设裁去的等腰直角三角形腰长为x，根据等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长b，结合勾股定理可得到x和b的关系；第二步根据原正方形的边长等于2倍等腰直角三角形腰长加正八边形边长b，得到a和x、b的关系，最后消去x即可求出a与b的比值。
【解析】
设裁去的等腰直角三角形的腰长为$ x $。
1. 由正八边形各边相等可知，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长$ b $，根据勾股定理：
$ \sqrt{x^2+x^2}=b $，化简得$ \sqrt{2}x = b $，解得$ x=\frac{\sqrt{2}b}{2} $。
2. 原正方形的边长$ a $满足：$ a = 2x + b $，将$ x=\frac{\sqrt{2}b}{2} $代入得：
$ a = 2×\frac{\sqrt{2}b}{2} + b = \sqrt{2}b + b = b(\sqrt{2}+1) $。
3. 两边同时除以$ b(b≠0) $，得$ \frac{a}{b}=\sqrt{2}+1 $。
【答案】
$ \sqrt{2}+1 $
【知识点】
等腰直角三角形性质；勾股定理；正多边形性质
【点评】
本题属于基础几何推导题，解题核心是梳理清楚不同图形边长之间的等量关系，只要熟练掌握等腰直角三角形和正多边形的基本性质，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 四个正方形如图1-5-1摆放，除点A，B，C，D外，其余各点均为所在线段的中点。其中最小的正方形的边长ON为2，则最大正方形的边长AB是
图1-5-1
$4\sqrt{2}$
。图1-5-1
答案
2. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先需要明确相邻正方形的边长关系：顺次连接正方形各边中点得到的新正方形，其边长可通过勾股定理推导得出与原正方形边长的倍数关系。已知最小正方形边长，我们从内向外逐步计算，每向外一层边长乘$\sqrt{2}$，最终得到最大正方形的边长。
【解析】
设任意正方形边长为$x$，顺次连接其各边中点得到的内层正方形边长为$y$，根据勾股定理：
$y=\sqrt{(\frac{x}{2})^2+(\frac{x}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，变形可得外层正方形边长$x = \sqrt{2}y$，即相邻外层正方形边长是内层正方形边长的$\sqrt{2}$倍。
已知最小正方形边长$ON=2$，图中共有4个正方形，从内到外共需计算3次边长倍数关系：
1. 最内层往外第1层正方形边长：$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
2. 往外第2层正方形边长：$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
3. 最外层正方形边长$AB$：$4×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、线段中点的性质
【点评】
本题重点考查正方形相关性质和勾股定理的应用，解题的核心是推导出相邻内外层正方形的边长倍数关系，再结合已知条件逐步推导即可得到结果，侧重对规律探究能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要明确相邻正方形的边长关系：顺次连接正方形各边中点得到的新正方形，其边长可通过勾股定理推导得出与原正方形边长的倍数关系。已知最小正方形边长，我们从内向外逐步计算，每向外一层边长乘$\sqrt{2}$，最终得到最大正方形的边长。
【解析】
设任意正方形边长为$x$，顺次连接其各边中点得到的内层正方形边长为$y$，根据勾股定理：
$y=\sqrt{(\frac{x}{2})^2+(\frac{x}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，变形可得外层正方形边长$x = \sqrt{2}y$，即相邻外层正方形边长是内层正方形边长的$\sqrt{2}$倍。
已知最小正方形边长$ON=2$，图中共有4个正方形，从内到外共需计算3次边长倍数关系：
1. 最内层往外第1层正方形边长：$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
2. 往外第2层正方形边长：$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
3. 最外层正方形边长$AB$：$4×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、线段中点的性质
【点评】
本题重点考查正方形相关性质和勾股定理的应用，解题的核心是推导出相邻内外层正方形的边长倍数关系，再结合已知条件逐步推导即可得到结果，侧重对规律探究能力的考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图1-5-2，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，其中∠ABM=150°。在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCNM。
(1)n的值为
(2)请用尺规补全这个正n边形。(不写作法，保留作图痕迹)
(1)n的值为
6
；(2)请用尺规补全这个正n边形。(不写作法，保留作图痕迹)
答案
3. 解:(1)6
(2)如答图 1-5-1,正六边形 ABCDEF 为所作。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用正方形的性质得到∠CBM的度数，再结合已知的∠ABM的度数，计算出正n边形的内角∠ABC的大小，最后代入正多边形内角和公式列方程求解n的值。
(2) 作图思路：正六边形的边长均相等，且每个内角为120°，因此只需以B、C为圆心，BC长度为半径，在正多边形一侧依次截取等长的线段，确定其余顶点的位置，顺次连接即可补全正六边形。
【解析】
(1) 解：
∵四边形BCNM是正方形，
∴∠CBM=90°，
∵点B处∠ABM+∠CBM+∠ABC=360°，已知∠ABM=150°，
∴∠ABC=360°-150°-90°=120°，
正n边形的内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，
令$\frac{(n-2)×180°}{n}=120°$，
解方程得：$180(n-2)=120n$
$180n-360=120n$
$60n=360$
$n=6$。
(2) 利用尺规，以B、C为圆心，BC长为半径画弧确定正六边形剩余顶点，顺次连接各顶点即可，保留作图痕迹。
【答案】
(1) 6
(2) 如答图 1-5-1,正六边形 ABCDEF 为所作。
【知识点】
正多边形内角和、正方形的性质、尺规作图
【点评】
本题将正多边形的性质计算与尺规作图结合，既考查了正多边形内角公式的应用能力，也考查了利用正多边形边长相等的特征进行作图的实操能力，解题时需注意围绕顶点的角度计算，避免角度关系判断错误。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先利用正方形的性质得到∠CBM的度数，再结合已知的∠ABM的度数，计算出正n边形的内角∠ABC的大小，最后代入正多边形内角和公式列方程求解n的值。
(2) 作图思路：正六边形的边长均相等，且每个内角为120°，因此只需以B、C为圆心，BC长度为半径，在正多边形一侧依次截取等长的线段，确定其余顶点的位置，顺次连接即可补全正六边形。
【解析】
(1) 解：
∵四边形BCNM是正方形，
∴∠CBM=90°，
∵点B处∠ABM+∠CBM+∠ABC=360°，已知∠ABM=150°，
∴∠ABC=360°-150°-90°=120°，
正n边形的内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，
令$\frac{(n-2)×180°}{n}=120°$，
解方程得：$180(n-2)=120n$
$180n-360=120n$
$60n=360$
$n=6$。
(2) 利用尺规，以B、C为圆心，BC长为半径画弧确定正六边形剩余顶点，顺次连接各顶点即可，保留作图痕迹。
【答案】
(1) 6
(2) 如答图 1-5-1,正六边形 ABCDEF 为所作。
【知识点】
正多边形内角和、正方形的性质、尺规作图
【点评】
本题将正多边形的性质计算与尺规作图结合，既考查了正多边形内角公式的应用能力，也考查了利用正多边形边长相等的特征进行作图的实操能力，解题时需注意围绕顶点的角度计算，避免角度关系判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图1-5-3，已知$△ ABC(AC＜AB＜BC)$，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图：
(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在边BC上确定一点P，使得$PA + PC = BC$；
(2)请在图1-5-4中作一个$△ DEF$，使得：
①$△ DEF$是直角三角形；②$△ DEF$的周长等于边BC的长。
(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在边BC上确定一点P，使得$PA + PC = BC$；
(2)请在图1-5-4中作一个$△ DEF$，使得：
①$△ DEF$是直角三角形；②$△ DEF$的周长等于边BC的长。
答案
4. 解:(1)如答图 1-5-2,点 P 为所作。
(2)如答图 1-5-3,△DEF 为所作。
解析
【分析】
(1) 要使$PA+PC=BC$，已知$BC=BP+PC$，因此只需满足$PA=BP$即可。根据线段垂直平分线的性质，到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，因此作出AB的垂直平分线，其与BC的交点即为所求点P。
(2) 要构造周长等于BC长的直角三角形：首先构造直角，在BC上取点D，过D作BC的垂线即可得到直角$∠ EDF$；接下来满足周长条件，若$DE=BD$、$EF=FC$，则$△ DEF$的周长$DE+EF+DF=BD+FC+DF=BC$，刚好符合周长要求。因此先截取$DE=DB$，再作EC的垂直平分线得到点F使$EF=FC$，连接EF即可得到符合要求的三角形。
【解析】
(1) 用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与BC边的交点即为点P。
理由：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此$PA=PB$，代入得$PA+PC=PB+PC=BC$，符合要求。
(2) 作图步骤：
① 在BC边上任取一点D，过D作BC的垂线，在垂线上截取$DE=DB$；
② 连接EC，用尺规作线段EC的垂直平分线，交BC于点F；
③ 连接EF，$△ DEF$即为所求。
理由：$ED⊥ BC$，因此$∠ EDF=90°$，$△ DEF$是直角三角形；又$DE=DB$，且点F在EC的垂直平分线上故$EF=FC$，因此$△ DEF$的周长$=DE+EF+DF=DB+FC+DF=BC$，符合周长要求。
【答案】
(1)如答图 1-5-2,点 P 为所作。
(2)如答图 1-5-3,△DEF 为所作。
【知识点】
线段垂直平分线性质，尺规作图，直角三角形定义
【点评】
本题考查尺规作图的灵活运用，解题核心是将题目给出的条件转化为已学的作图模型，第一问通过等量代换将要求转化为找满足$PA=PB$的点，第二问通过拆分线段构造等量关系同时满足直角和周长的要求，需要熟练掌握基本尺规作图的操作和相关几何性质。
【难度系数】
0.7
(1) 要使$PA+PC=BC$，已知$BC=BP+PC$，因此只需满足$PA=BP$即可。根据线段垂直平分线的性质，到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，因此作出AB的垂直平分线，其与BC的交点即为所求点P。
(2) 要构造周长等于BC长的直角三角形：首先构造直角，在BC上取点D，过D作BC的垂线即可得到直角$∠ EDF$；接下来满足周长条件，若$DE=BD$、$EF=FC$，则$△ DEF$的周长$DE+EF+DF=BD+FC+DF=BC$，刚好符合周长要求。因此先截取$DE=DB$，再作EC的垂直平分线得到点F使$EF=FC$，连接EF即可得到符合要求的三角形。
【解析】
(1) 用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与BC边的交点即为点P。
理由：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此$PA=PB$，代入得$PA+PC=PB+PC=BC$，符合要求。
(2) 作图步骤：
① 在BC边上任取一点D，过D作BC的垂线，在垂线上截取$DE=DB$；
② 连接EC，用尺规作线段EC的垂直平分线，交BC于点F；
③ 连接EF，$△ DEF$即为所求。
理由：$ED⊥ BC$，因此$∠ EDF=90°$，$△ DEF$是直角三角形；又$DE=DB$，且点F在EC的垂直平分线上故$EF=FC$，因此$△ DEF$的周长$=DE+EF+DF=DB+FC+DF=BC$，符合周长要求。
【答案】
(1)如答图 1-5-2,点 P 为所作。
(2)如答图 1-5-3,△DEF 为所作。
【知识点】
线段垂直平分线性质，尺规作图，直角三角形定义
【点评】
本题考查尺规作图的灵活运用，解题核心是将题目给出的条件转化为已学的作图模型，第一问通过等量代换将要求转化为找满足$PA=PB$的点，第二问通过拆分线段构造等量关系同时满足直角和周长的要求，需要熟练掌握基本尺规作图的操作和相关几何性质。
【难度系数】
0.7
5. 在学习了“作内嵌于正方形的正八边形”后，小深所在的学习小组在课余时间思考“在一个矩形中作内接菱形（四个顶点都在矩形边上的菱形称为矩形的内接菱形）”的课题。已知矩形ABCD，其中$AD=9$，$AB=3$，内接菱形EFGH的四个顶点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上，请用无刻度的直尺和圆规完成以下任务。（不写作法，保留作图痕迹）
【特例感知】
(1) 如图1-5-5，当点E,G分别为边AB,CD的中点时，求作内接菱形EFGH。
(2) 如图1-5-6，当点E,G分别与点A,C重合时，求作内接菱形EFGH。
【深入探究】
(3) 菱形EFGH内接于矩形ABCD，还可能有哪些不同的情形？请用尺规在图1-5-7中作出内接菱形EFGH。
【拓展延伸】
(4) 内接菱形EFGH的最大面积为
图1-5-5
图1-5-6
图1-5-7
备用图
【特例感知】
(1) 如图1-5-5，当点E,G分别为边AB,CD的中点时，求作内接菱形EFGH。
(2) 如图1-5-6，当点E,G分别与点A,C重合时，求作内接菱形EFGH。
【深入探究】
(3) 菱形EFGH内接于矩形ABCD，还可能有哪些不同的情形？请用尺规在图1-5-7中作出内接菱形EFGH。
【拓展延伸】
(4) 内接菱形EFGH的最大面积为
15
。图1-5-5
图1-5-6
图1-5-7
备用图
答案
5. 解:(1)如答图 1-5-4,内接菱形 EFGH 为所作。
(2)如答图 1-5-5,内接菱形 EFGH 为所作。
(3)如答图 1-5-6,内接菱形 EFGH 为所作。(E 为 AB 上除端点和中点外的点)
(4)15
解析
【分析】
(1) 已知E、G是AB、CD的中点，EG可作为菱形的一条对角线，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，只需作EG的垂直平分线，交AD于F、交BC于H，顺次连接四点即可得到所求菱形。
(2) 当E、G与A、C重合时，AC为菱形的一条对角线，同理作AC的垂直平分线，交AD于F、交BC于H，顺次连接各点即可得到菱形。
(3) 先在AB上取异于端点和中点的点E，根据矩形中心对称的性质，在CD上取点G使得CG=AE，再作EG的垂直平分线交AD、BC于F、H，顺次连接即可得到不同于前两问的内接菱形。
(4) 求菱形最大面积时，可设AE=a，利用菱形四边相等的性质得到各边的数量关系，再用矩形面积减去周围四个直角三角形的面积，得到面积关于a的二次函数，结合a的取值范围即可求出最大值。
【解析】
(1) 连接EG，用尺规作EG的垂直平分线，分别交AD、BC于F、H，顺次连接E、F、G、H，即为所求内接菱形。
(2) 连接AC，用尺规作AC的垂直平分线，分别交AD、BC于F、H，顺次连接A、F、C、H，即为所求内接菱形。
(3) 在AB边上任取异于端点和中点的点E，在CD边上取点G使CG=AE，连接EG，作EG的垂直平分线分别交AD、BC于F、H，顺次连接E、F、G、H，即为所求内接菱形。
(4) 设$AE=a(0≤ a≤3)$，由矩形和菱形的中心对称性可知$CG=AE=a$，设$BH=x$，则$HC=9-x$。
∵菱形四边相等，
∴$EH=HG$，
在$Rt△ BEH$和$Rt△ HCG$中，$EH^2=BE^2+BH^2=(3-a)^2+x^2$，$HG^2=GC^2+HC^2=a^2+(9-x)^2$，
∴$(3-a)^2+x^2 = a^2+(9-x)^2$，
展开化简得$3x=a+12$，即$x=\frac{a+12}{3}$。
菱形面积$S = S_{矩形ABCD} - 2(S_{△ BEH} + S_{△ HCG})$
$= 9×3 - 2[\frac{1}{2}(3-a)x + \frac{1}{2}a(9-x)]$
$=27 - (3x +9a -2ax)$
将$x=\frac{a+12}{3}$代入，化简得$S=\frac{2}{3}a^2 -2a +15$。
该二次函数开口向上，对称轴为$a=\frac{3}{2}$，因此当a取端点值0或3时，S取得最大值，代入得$S_{最大值}=15$。
【答案】
(1) 如答图1-5-4，内接菱形EFGH为所作。
(2) 如答图1-5-5，内接菱形EFGH为所作。
(3) 如答图1-5-6，内接菱形EFGH为所作。(E为AB上除端点和中点外的点)
(4) 15
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 菱形的判定与性质
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题将尺规作图与几何最值计算结合，既考查了矩形、菱形的核心性质，也考查了函数思想在几何问题中的应用，作图部分需紧扣菱形对角线互相垂直平分的性质，最值计算部分需要合理设元，通过边长相等建立等量关系求解。
【难度系数】
0.65
(1) 已知E、G是AB、CD的中点，EG可作为菱形的一条对角线，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，只需作EG的垂直平分线，交AD于F、交BC于H，顺次连接四点即可得到所求菱形。
(2) 当E、G与A、C重合时，AC为菱形的一条对角线，同理作AC的垂直平分线，交AD于F、交BC于H，顺次连接各点即可得到菱形。
(3) 先在AB上取异于端点和中点的点E，根据矩形中心对称的性质，在CD上取点G使得CG=AE，再作EG的垂直平分线交AD、BC于F、H，顺次连接即可得到不同于前两问的内接菱形。
(4) 求菱形最大面积时，可设AE=a，利用菱形四边相等的性质得到各边的数量关系，再用矩形面积减去周围四个直角三角形的面积，得到面积关于a的二次函数，结合a的取值范围即可求出最大值。
【解析】
(1) 连接EG，用尺规作EG的垂直平分线，分别交AD、BC于F、H，顺次连接E、F、G、H，即为所求内接菱形。
(2) 连接AC，用尺规作AC的垂直平分线，分别交AD、BC于F、H，顺次连接A、F、C、H，即为所求内接菱形。
(3) 在AB边上任取异于端点和中点的点E，在CD边上取点G使CG=AE，连接EG，作EG的垂直平分线分别交AD、BC于F、H，顺次连接E、F、G、H，即为所求内接菱形。
(4) 设$AE=a(0≤ a≤3)$，由矩形和菱形的中心对称性可知$CG=AE=a$，设$BH=x$，则$HC=9-x$。
∵菱形四边相等，
∴$EH=HG$，
在$Rt△ BEH$和$Rt△ HCG$中，$EH^2=BE^2+BH^2=(3-a)^2+x^2$，$HG^2=GC^2+HC^2=a^2+(9-x)^2$，
∴$(3-a)^2+x^2 = a^2+(9-x)^2$，
展开化简得$3x=a+12$，即$x=\frac{a+12}{3}$。
菱形面积$S = S_{矩形ABCD} - 2(S_{△ BEH} + S_{△ HCG})$
$= 9×3 - 2[\frac{1}{2}(3-a)x + \frac{1}{2}a(9-x)]$
$=27 - (3x +9a -2ax)$
将$x=\frac{a+12}{3}$代入，化简得$S=\frac{2}{3}a^2 -2a +15$。
该二次函数开口向上，对称轴为$a=\frac{3}{2}$，因此当a取端点值0或3时，S取得最大值，代入得$S_{最大值}=15$。
【答案】
(1) 如答图1-5-4，内接菱形EFGH为所作。
(2) 如答图1-5-5，内接菱形EFGH为所作。
(3) 如答图1-5-6，内接菱形EFGH为所作。(E为AB上除端点和中点外的点)
(4) 15
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 菱形的判定与性质
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题将尺规作图与几何最值计算结合，既考查了矩形、菱形的核心性质，也考查了函数思想在几何问题中的应用，作图部分需紧扣菱形对角线互相垂直平分的性质，最值计算部分需要合理设元，通过边长相等建立等量关系求解。
【难度系数】
0.65
